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高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
双曲线的定义及方程
双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点,多以选择题、填空题的形式进行考查,难度中档.
2016课标全国Ⅰ5
2015课标全国Ⅰ5
★★★
双曲线的性质
2017课标全国Ⅲ5
2017课标全国Ⅱ9
2016课标全国Ⅱ11
★★★★★
考点1 双曲线的定义及方程
题组一 双曲线定义的应用
调研1 已知方程mx
A.433
C.3 D.2
【答案】A
【解析】由题可得,因为方程mx2+(m-3)y2=1
因为,所以,故选A.
☆技巧点拨☆
双曲线的定义是基础知识,很少单独在高考中出现,但其基础性不容忽视,注意掌握以下内容:
1.在求解双曲线上的点到焦点的距离d时,一定要注意这一隐含条件.
2.双曲线方程中的大小关系是不确定的,但必有.
3.由,知x2a2≥1,所以x≤-a或x≥a,因此双曲线位于不等式x≥a和x≤
题组二 求双曲线的方程
调研2 双曲线:的离心率为2,其渐近线与圆相切,则该双曲线的方程为__________.
【答案】
【解析】由题意知,,即,则,由圆的方程可知,其圆心坐标为,半径,不妨取双曲线的渐近线,则,即,所以,则,故所求双曲线的方程为.
调研3 已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e=2,且过点(4,-10
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF
【解析】(1)∵e=2,∴
∵c2=a2
∴可设双曲线方程为x2
∵双曲线过点(4,? 10),∴16?10=λ,即λ
∴双曲线方程为x2
(2)由(1)可知,在双曲线中a=b=6,∴c=23
∴F1(?23,0),
∴,
又∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2
∴kMF1?kM
☆技巧点拨☆
求解双曲线的方程在高考中经常出现,且一般以选择题或填空题的形式出现,求解时需注意:
1.求解双曲线的标准方程时,先确定双曲线的类型,也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,从而设出相应的标准方程的形式,然后利用待定系数法求出方程中的的值,最后写出双曲线的标准方程.
2.在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或可直接设双曲线的方程为.
考点2 双曲线的性质
题组一 求双曲线的渐近线
调研1 已知双曲线C:=0 (a>0,b>0)的离心率为2,则C的渐近线方程为
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
【答案】A
【解析】∵双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为2,∴,即,
∴a2+b2=4a2,∴,
∴双曲线C的渐近线方程为.选A.
调研2 已知方程mx2+(m﹣4)y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线.
(1)求m的取值范围;
(2)若该双曲线与椭圆x2
【解析】(1)由题意得,解得0<m<4.
(2)由题意得8﹣2=2m+2m-2m+2m-4,解得
故双曲线方程是x2﹣y2=3或,
故渐近线方程是:y=±x或.
题组二 求双曲线的离心率
调研3 已知点为双曲线:(,)的右焦点,点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半,则双曲线的离心率为
A.或 B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得,双曲线的渐近线方程为,即.
∵点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半,∴,即,
∴,即,∴,
∴双曲线的离心率为.
调研4 已知双曲线C:-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线右支上一点,若|PF1|2=8a|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为
A.(1,3] B.[3,+∞)
C.(0,3) D.(0,3]
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上,得|PF1|-|PF2|=2a,
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m-n=2a,m2=8an,∴m2-4mn+4n2=0,
∴m=2n,则n=2a,m=4a,
依题得|F1F2|≤|PF1|+|PF2|,当且仅当P,F1,F2三点共线时等号成立,
∴2c≤4a+2a,∴e=≤3,又e>1,∴1<e≤3,
即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3].选A.
☆技巧点拨☆
双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个,高考中若出现关于双曲线的题目,基本都要涉及,所以求双曲线离心率的方法一定要掌握.
1.求双曲线的离心率,可以由条件寻找满足的等式或不等式,结合得到,也可以根据条件列含的齐次方程求解,注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
2.求解双曲线的离心率的取值范围,一般根据已知条件、双曲线上的点到焦点的距离的最值等列不等式求解,同样注意根据双曲线离心率的取值范围是.
1.(2017-2018学年北京101中学高三零模数学)
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