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高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
椭圆的定义与标准方程及简单几何性质
从近三年高考情况来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,尤其是离心率问题是高考考查的重点,多在选择题、填空题中出现,考查直线与椭圆的位置关系,常与向量、圆等知识相结合,多以解答题的形式出现,解题时,以直线与椭圆的位置关系为主,充分利用数形结合思想,转化与化归思想.同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.
2017新课标全国Ⅰ 20
2017新课标全国Ⅱ 20
2017新课标全国Ⅲ 5,10
2016新课标全国Ⅰ 20
2016新课标全国Ⅱ 20
2016新课标全国Ⅲ 11
2015新课标全国Ⅰ 14
2015新课标全国Ⅱ 20
★★★★★
直线与椭圆的位置关系及综合问题
2017新课标全国Ⅰ 20
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2017新课标全国Ⅲ 5,10
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2016新课标全国Ⅱ 20
2016新课标全国Ⅲ 11
2015新课标全国Ⅱ 20
★★★★★
考点1 椭圆的定义与标准方程
调研1 对于常数、,“”是“方程表示的曲线是椭圆”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示的曲线是椭圆,则有,所以“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
调研2 设,且,则椭圆和椭圆具有相同的
A.顶点 B.焦点
C.离心率 D.长轴和短轴
【答案】C
【解析】椭圆的离心率为,椭圆化为标准方程得,所以离心率为,所以两椭圆的离心率相同.故选C.
☆技巧点拨☆
求椭圆的方程有两种方法:
(1)定义法.根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法,其一般步骤是:
第一步,做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能(这时需要分类讨论).
第二步,设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步,找关系.根据已知条件,建立关于的方程组(注意椭圆中固有的等式关系).
第四步,得椭圆方程.解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
考点2 椭圆的简单几何性质
调研1 椭圆的左焦点为,为椭圆上的动点,是圆上的动点,则的最大值是_______________.
【答案】
【解析】圆的圆心为,半径为.由椭圆方程可知,所以,左焦点为,右焦点为.
故,
所以.
调研2 设、是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,若的最大值为5,则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为,,所以的周长为,显然,当最小时,有最大值,而,所以,解得,,从而.故选A.
☆技巧点拨☆
1.利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧:
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系.
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.
2.求椭圆离心率问题的一般思路:
求椭圆离心率或其范围时,一般是根据题意设出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2,消去b即可求得离心率或离心率的范围.
考点3 直线与椭圆的位置关系
调研1 已知直线过椭圆的左焦点,且与椭圆交于两点,为弦的中点,为坐标原点,若是以线段为底边的等腰三角形,则直线的斜率为?? ? ??????.
【答案】
【解析】由题意得,可得,即,所以椭圆的左焦点为.由题意得直线的斜率存在且不为0,可设直线为,直线与椭圆交于、,联立与,化简可得,所以;而点为的中点,所以点的横坐标为.因为是以为底边的等腰三角形,所以,即,,即直线的斜率为.
调研2 设是椭圆()的左焦点,是上一点,且与轴垂直,若,椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)以椭圆的左顶点为的直角顶点,边与椭圆交于两点,求面积的最大值.
【答案】;(2).
【解析】(1)因为点,与轴垂直,.
所以或,
则,即,
故椭圆的方程为.
(2)点,设直线的方程为(),
联立方程得,消去得,
设,则,
所以,
所以,
直线的方程为,
同理可得,
所以的面积,
令,
因为,所以,当且仅当时取等号.
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