函数的凹凸性.docxVIP

上期答案： 解：证明：设，则上的凹函数． 由琴生： ∴ ． 今天我们来聊:凸函数问题 定义域为，且对任意实数、都满足不等式 的所有函数组成的集合记为， 例如，则下列函数中属于集合 且满足列极限，的有 (1); (2); (3); (4) 解：对任意实数、都满足，则说明中点的函数值等于小于等于函数值得中点，这样的函数我们把他叫做凸函数，即如图所示： 又 则说明点如果，则点两点的斜率小于点两点的斜率，依次对进行二等分，四等分…… 对二等分四等分……由极限思想可得点切线的斜率要小于点切线的斜率. 所以凸函数含有一个判断方法就是对于任意的， 点切线的斜率小于等于点切线的斜率. 对于(1)满足实数、都满足但是不满足,所以(1)不满足条件； 对于(2)满足实数、都满足但是不满足,所以(1)不满足条件； 关键在于判断(3)(4)，由于(3)(4)都满足，， 对于(3)，当,，当，但对于整个定义域中的是否属于，关键在于判断间断点前一部分的切线斜率是否小于后一部分的切线的斜率.对于(3)在间断点时前一部分切线的斜率为，后一部分切线的斜率为.所以 对于(4),当,， 当，但对于整个定义域中的是否属于，关键在于判断间断点前一部分的切线斜率是否小于后一部分的切线的斜率.对于(3)在间断点时前一部分切线的斜率为，后一部分切线的斜率为.所以 所以，只有(4)满足条件 练习 若求证 证明：构造幂函数，由于幂函数图像的特点知 在上为凸函数。 所以 当且仅当时取等号. 所以：