奥数数论：余数问题要点总结及解题技巧.doc

奥数数 ：余数 要点及解 技巧 一、基本概念： 任意自然数 a、b、 q、 r，如果使得 a b=q?? r，且 0 余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。二、余数的性 ： ①余数小于除数。 ②若 a、 b 除以 c 的余数相同， ③ a 与 b 的和除以 c 的余数等于  c|a-b 或 c|b-a。 a 除以 c 的余数加上  b 除以  c 的余数的和除以  c 的余数。 除以  ④ a 与 b 的 除以 c 的余数等于 c 的余数的 除以 c 的余数。  a 除以 c 的余数与 b 三、同余的定 ： ①若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同， 称 a、b 于模 m 同余。 ②已知三个整数 a、 b、m，如果 m|a-b，就称 a、 b 于模 m 同余， 作 a≡ b(modm) ， 作 a 同余于 b 模 m。 四、同余的性 ： ①自身性： a≡ a(modm)； ② 称性：若 a≡ b(modm) ， b≡ a(modm) ； ③ 性：若 a≡ b(modm) ，b≡ c(modm)， a≡ c(modm) ； ④和差性：若 a≡ b(modm) ，c≡ d(modm) ， a+c≡ b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm) ； ⑤相乘性：若 a≡ b(modm) ，c≡d(modm) ，则 a×c≡ b d(modm) ； ⑥乘方性：若 a≡ b(modm) ，则 an≡ bn(modm) ； ⑦同倍性 :若 a≡ b(modm) ，整数 c，则 a× c≡ b× c(modm× c)； 五、被 3、 9、 11 除后的余数特征： ①一个自然数 M ， n 表示 M 的各个数位上数字的和， M ≡ n(mod9) 或（ mod3）； ②一个自然数 M ， X 表示 M 的各个奇数位上数字的 和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和， 则 M ≡ Y-X 或 M 11-（ X-Y ） (mod11) ； 六、费尔马小定理： 如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整 除，则 ap-1≡ 1(modp) 。