“三线合一”证题.pdf

., .. .. 等腰三角形 巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的 应用。本文结合实例说明其应用，供参考。 一. 直接应用“三线合一” 例 1. 已知，如图 1，AD是 ABC 的角平分线， DE、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高。 求证： AD 垂直平分 EF A 1 2 E F B D C 图 1 分析：从本题的条件和图形特征看，欲证 AD 垂直平分 EF，因为有 1 2 ，所以只 要证 AEF 为等腰三角形即可 证明： DE AB ，DF AC 1 2 ，AD AD Rt AED Rt AFD AE AF 又 1 2 AD垂直平分 EF 例 2. 如图 2 ， ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC边上的高， AD 的中点为 M，CM的延长线交 AB 于点 K，求证： AB 3AK A K M E B D C 图 2 分析：可考虑作 DE//CK 交 AB于 E，因为 M是 AD 的中点，所以 K 是 AE 的中点，只要证 E 是 BK 的中点，问题可得到解决。由于有 AB AC ， AD BC ，所以就想到用“三线合 一”。 证明：过点 D 作 DE//CK 交 BK 于点 E 参考 .资料 ., .. .. AB AC ，AD BC BD DC ， BE EK AM MD ， AK KE AK KE EB AB 3AK 二. 先连线，再用“三线合一” 例 3. 如图 3 ，在 ABC 中， A 90 ， AB AC ，D 是 BC 的中点， P 为 BC上任一 点，作 PE AB ， PF AC ，垂足分别为 E、F 求证：（ 1）DE＝DF；（ 2） DE DF A E F B D P C 图 3 分析： （1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察