变分原理及有限单元法.pdf

变分原理及有限元 变分原理及有限元 南京航空航天大学 航空宇航学院 前 言 变分原理是数学的一个重要分支，亦是弹性力学的重要组成部分，在理论上和实用上都有重要的价 值。自从上世纪初里兹提出变分问题的近似解法以后，变分原理在弹性力学中的应用有了新的发展。五 十年代有限单元法的问世，变分原理为它提供了重要的理论基础，使变分原理的重要性更加突出地显示 出来。同时，有限单元法的发展，又反过来推动了变分原理的研究和进一步发展。 有限单元法发展至今，已成为工程数值分析的有力工具。它的应用领域十分广泛，不论是固体力学、 流体力学，还是电磁学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，不论是静力分析、还是动力分析或稳 定性分析；不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法的应用都取得了巨大的成功，利用它已成功 地解决了大批有重大意义的问题，并已开发了很多商用的分析软件。 为了我校力学、土木、机械等专业研究生更方便、更系统地学习和掌握变分原理和有限元的基础知 识，编写了此本研究生教材。本教材也可作为其他专业的研究生、高年级本科生、以及广大工程技术人 员的学习参考书。 教材分两大部分内容。第一部分变分原理共五章：第一章介绍变分学的基本概念，以及多类泛函的 变分问题；第二章介绍弹性理论的经典变分原理 － 最小位能原理和最小余能原理；第三章介绍弹性理 论的广义变分原理 － H-R 广义变分原理和胡— 鹫广义变分原理；第四章介绍弹性理论变分原理的近似 解法 － 里兹法 （Ritz）、伽辽金法 （Галёркин）和康托洛维奇法；第五章介绍建立多种有限单元 的变分原理。第二部分有限元共九章：第一章综合概述基于最小位能原理的有限单元法的列式过程以及 基本理论和概念；第二章介绍基于最小位能原理建立弹性力学平面问题及空间问题有限元表达格式的方 法和途径；第三章介绍构造单元与单元插值函数的原则和方法；第四章介绍板壳问题的有限元方法；第 五章介绍基于其他变分原理的杂交应力有限元；第六章介绍热传导问题的有限元方法；第七章介绍结构 动力学问题有限元方法；第八章介绍结构稳定性问题有限元方法；第九章介绍非线性问题的变分原理及 几何非线性有限元方法。 本教材 《变分原理及有限元》的第一版是在丁锡洪教授、顾慧芝副教授编写的研究生讲义 《变分原 理与有限单元法》的基础上于2003 年 12 月编写完成的。这次再版对第一版的教材内容进行了部分修订。 由于编写者时间仓促、水平有限，书中难免存在缺点或错误，敬请批评指正。 史治宇 2008 年3 月于南航大 结构强度研究所 目 录 第一部分 变分原理 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 1 第 一章 变分学 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 2 1－1 变分命题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 2 1－2 变分及其特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 4 1－3 固定边界的变分问题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 7 1－4 变动边界的变分问题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... 11 1－5 含多个未知函数泛函的变分问题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ... 16 1－6 含高阶导数泛函的变分问题 … … … … … … … … … … … … … … … … …