《研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题》-(课件).ppt

习题3-1已知A?Cn?n是正定Hermite矩阵, ?,??Cn.定义内积 (?,?)=?A?*.①试证它是内积;②写出相应的C-S不等式 ①: ②:Cauchy-Schwarz不等式： 习题3-3(1) #3-3(1):已知A= ,试求U?Un?n使U*AU=R为 上三角矩阵. 解:det(?E-A)=(?+1)3给出?=-1是A的3重特征值. 显然,?1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵V=(?1,?2,?3),?2=(1,0,0)T,?3=(0,0,1)T,则 V*AV= 子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是?1=(-2/?5,1/?5)T,作2阶酉矩阵 W1=(?1,?2),?2=(1/?5,2/?5)T,则W1*A1W1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵. 习题3-9 #3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵. 证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1 =((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E 注:可以不证 AA*=E; (E-(T+iS))(E+(T+iS))=(E+(T+iS))(E-(T+iS)) =(E+T+iS)(E-T-iS) 习题3-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同 证:充分性：因为A,B是正规矩阵,所以存在U,V?Un?n 使得 A=Udiag(?1,…,?n)U*, B=Vdiag(?1,…,?n)V*, 其中?1,…,?n是A,B的特征值集合.于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*?Un?n 即得证A与B酉相似. 必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值. 习题3-13 #3-13:若A?Hn?n,A2=A,则存在U?Un?n使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A). 证:存在U?Un?n使得 A=Udiag(?1,…,?n)U*, (*) 其中?1,…,?n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=A 和 A2=Udiag(?1,…,?n)U*Udiag(?1,…,?n)U* =Udiag(?12,…,?n2)U* ∴ ?i2=?i,即?i?{0,1},i=1,…,n,. 取?1,…,?n的排列使特征值0全排在后面,则(*)式即给出所需答案. 习题3-14 #3-14:若A?Hm?n,A2=E,则存在U?Un?n使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 证:存在U?Un?n使得 A=Udiag(?1,…,?n)U*, (*) 其中?1,…,?n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(?1,…,?n)U*Udiag(?1,…,?n)U* =Udiag(?12,…,?n2)U* ∴ ?i2=1,即?i=?1,i=1,…,n,. 取?1,…,?n的排列使特征值1(设共有r个)全排在前面,则(*)式即给出所需答案. 习题3-16 #3-16:设若A,B?Hn?n,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数. 证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=M?Hm?n, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ ?(AB)=?(M)?R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=M?Hm?n, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. ∴ ?(BA)=?(M)?R,得证BA的特征值都是实数. #3-16:设若A,B?Hm?n,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=M?Hm?n, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ ?(AB)=?(M)?R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(?E-AB)=det(A(?A-1-B)) =det A det(?A-1-B)=0. 但det A >0,和det(?A-1-B)=0的根全为实数(见例3.9.1的相关证明) 习题3-