微积分第二章极限与连续.ppt

第二章 极限与连续 §2.1 数列与函数的极限 单调数列: 2.数列的极限 由前面的例子有 因此上段中所列举的数列中有 5. 左极限 6. 右极限 例4： 解： 三、无穷小量与无穷大量 例如： 2、无穷大量 无穷大量与无穷小量的关系 §2.2 极限的性质与运算 定理（局部比较性）： 二、极限的运算法则 定理（复合函数的极限）: 综合例6—8可得有理函数的极限运算公式 例9： §2.3 极限存在准则及两个重要极限 定理：单调有界数列必有极限 又由于 再求极限 常用的等价无穷小量 三、应用等价无穷小量代换求函数的极限 补充三角函数的和差化积与积化和差 应用等价无穷小量代换可简化求极限的运算，但要注意遵循相应定理的条件. 正确的解法是： §2.5 函数的连续性 二、函数的连续性 解： 求f(x)的表达式，并求出它的间断点 解： 例7： 例8：讨论函数 在 处的连续性 例8：讨论函数 在x=0处的连续性 五、闭区间上连续函数的性质 例21: 注意 变量乘除关系可用无穷小量代替， 其它运算关系用无穷小量代替尤其要慎重. 一、函数的增量 注意 例1: 例2: 注意 例3: 作业 先看书 再做练习 P77:T5(2),(4); P95:T6 在点 处连续 以上三个条件只要有一条不满足, 即 在点 处间断, 为函数 的间断点. 间断点的分类: 第一类间断点 特点:左、右极限都存在 在点 处不连续. 函数 三、函数的间断点及其分类 可去间断点； 跳跃间断点； 例如.函数 在 的邻域内有定义. 又如函数 在 处, -1 x y o 1 为跳跃间断点. 可去间断点无论 在点 处是否有定义，通过补充定义或重新定义 得函数 若 为 的跳跃间断点, 为 在 点 处的跳跃度. 则 在点 处连续，称 为 的连续延拓. 例4: 图象： x y 0 1 1 ○ ● 重新定义： · 例5：讨论函数 在 处的连续性 x y 1 -1 0 ○ ○ 第二类间断点 特点：左、右极限至少有一个不存在. 无定义, 从而间断. 因 称 为函数 的第二类间断点. 第二类间断点又分无穷间断点和振荡间断点 解：因为 在 处没有定义，所以不连续 是 的间断点 图象： x y 0 称 为函数 的是第二类间断点.(无穷间断点) 解：因为 在 处无定义,从而间断. 所以 为 的第二类间断点(无穷间断点). 图象： 解：函数 在点x=0处没有定义从而间断；当x→0时，函数 值在-1与+1之间变动无限多次，所以点x=0称为函数 的第二类间断点(振荡间断点) 图象： 四、连续函数的运算 证: 例7: 解：先证数列存在极限 由数学归纳法知{xn}为单调递增数列 由数学归纳法知{xn}有上界,所以{xn}单调递增且有界， 故 n→∞ 时，极限存在. 第二个重要极限: 1.幂指函数; 2.底数是1与无穷小量之和; 指数与底数中的无穷小量成颠倒关系. 特点 利用准则2,可以证明第二个重要极限 推广: 注意(1),(2)同前 例8: 例9: 例10: 例11: §2.4 无穷小量的性质与无穷小量的阶 一、无穷小量的性质 推论：有限个无穷小量的代数和还是无穷小量. 注意 无数个无穷小量的代数和不一定是无穷小量. 推论：有限个无穷小量的乘积是无穷小量 推论：常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 求下列极限 解 答 (3) 作业 P71:T2(3),(5); T3(1),(3); P77:T1(2),(3). 先看书 再做练习 作业讲评 x 0 y 首先要正确的识别题型，书写时极限号不可少写也不可多写。 二、无穷小量的阶 注意 例13: 例14: 例15: 在某些情况下用此法可简化运算. 例16: 例17: 例18: 例19: 解：以下解法是错误的 注: 以上法则对任一自变量变化趋势均成立. 去零因子法 “ 抓大头” 去零因子法 P63:T7(6),(10); P64:T8(3); P94:T2(3),(5). 作业 先看书 再做