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微 积 分 第一章 函数 集合 函数概念 函数的几种特性 反函数 复合函数 初等函数 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-集合 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数概念 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-函数的性质 函数-反函数 函数-反函数 函数-反函数 函数-复合函数 函数-复合函数 函数-复合函数 函数-复合函数 函数-复合函数 函数-复合函数 函数-复合函数 初等函数 函数-基本初等函数 函数-基本初等函数 函数-初等函数 函数-初等函数 函数-初等函数 函数-初等函数 习题选讲 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2.幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2.幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2.幂函数 幂函数的定义域随a而异，但不论 a 为何值, 它在(0, +?)内总有定义。幂函数图形都经过 (1, 1)点。 常见的幂函数及其图形： 2.幂函数 3.指数函数 定义域为(-?, +?)，值域为(0, +?)， 都通过点(0, 1), 当a>1时，函数单调增加； 当0<a<1时，函数单调减少。 4.对数函数 对数函数是指数函数y = ax的反函数, 定义域为(0,+?),图形通过(1, 0)点, 当 a>1 时, 函数单调增加； 当 0<a<1时, 函数单调减少。 对数的基本性质： 换底公式 对数恒等式 5.三角函数 正弦函数 余弦函数 y = sin x与y = cos x的定义域均为(-?, +?)，均以2p为周期。y = sin x为奇函数，y = cos x为偶函数。它们都是有界函数。 定义域: x?(2n+1)p/2 。 周期: p 。奇函数。 正切函数 定义域: x?np。 周期: p 。奇函数。 余切函数 正割函数 余割函数 正割函数 余割函数 6.反三角函数 定义域： 值域： 单调增加函数； 奇函数. 定义域： 值域： 单调减少函数； 非奇非偶. x y 定义域： 值域： 单调增加函数； 奇函数. 反余切函数 x y 定义域： 值域： 单调减少函数； 非奇非偶. 反三角函数值的确定： 求 arcsin x 值的方法： 例1 例2 类似地有 下面五类函数基本初等函数： 冪函数 y=xα （ α是常数, α≠0 ） 指数函数 y=ax (a是常数,a>0,a≠1) 对数函数 y=logax (a是常数,a>0,a≠1) 三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx; 反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx . α >0,过(0,0),(1,1),在(0, +∞)递增 α <0,过(1,1),在(0, +∞)递减 { D=(-∞,+∞)，W=(0, +∞) 过(0,1) a>1递增,0<a<1递减 { D=(0,+∞)，W=(-∞, +∞) 过(1,0) a>1递增,0<a<1递减 { 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫初等函数。 而函数 y = x 2 在区间(-?, 0)内单调减少；在区间(0, +?)内单调增加。 例1:判断函数y=x3的单调性。 解：对于任意的xl、x2 ，设xl＜x2 x23 -x13>0,所以x23 > x13 ，故 y=x3在(-∞ ,+∞)是单调增加的。 当 x1 x2 ≥0 时 x12 + x1 x2 + x22 >0 所以f(x2)-f(x1)>0 f(x2)-f(x1)=x23 - x1 3 =(x2 - x1)(x12 + x1 x2 + x22) 当 x1 x2 <0 时 x12 + x1 x2 + x22 =(x1+x2)2-x1 x2>0 所以f(x2)-f(x1)>0 例2:判断函数y=2x2+1的单调性。 解：?xl、x2 ?R