11.4格林公式及其应用（一）.pdfVIP

§11.4 格林公式及其应用（一） 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 先看一个问题：计算曲线积分 x x òABOA(e sin y ? my)dx +(e cos y ? m)dy B x2+y2=2x 直接曲线积分的基本计算方法 转换为定积分，能行吗? O A x x òABOA (e sin y ? my)dx +(e cos y ? m)dy 1 = òò(e x cos y ? e x cos y + m)dxdy = mòòdxdy = mπ D D 2 ?Q ?P ? ?x ?y 一、格林公式 区域连通性的分类 设D为平面闭区域, 如果D内任一闭曲线 所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通 区域, 否则称为复连通区域. D D 单连通区域 复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时,D内他附近 的部分总在他的左边，则此方向为正向。 单连通区域 复连通区域 格林公式 定理 1 设闭区域D由分段光滑的曲线L 围 成,函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连 续偏导数, 则有 ?Q ?P ( ? )dxdy = Pdx + Qdy (1) òò òL D ?x ?y 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 证明 积分区域D是X型区域（或若干个X型区域） y = ? (x) 我们先在一个X型区域上证明 2 F E ?P D ? òò dxdy = òL P ( x , y )dx A B D ?y y = ?1 (x) ?P b ( x ) ?P Q ? dxdy = ? dx ? 2 dy òò òa ò? 1 ( x ) D ?y ?y a b b = ? [P( x,? 2 ( x)) ? P( x,? 1 ( x))]dx òa a b = P ( x ,? 2 ( x ))dx + P ( x ,? 1 ( x ))dx òb òa ?=+P(x,y)dxP(x,)ydx =? P(x, y)dx òòEF AB òL 若D非X型，用与 x轴垂直的直线将 D分割为若干 个X型域D1、L、Dn，边界分别为 L1、L、Ln，则 ?P n ?P n ? òò dxdy = ?? òò dxdy = ?ò Pdx = ò Pdx; ?y i=1 ?y i=1 D Di Li L 同理，将D分成若干个Y型区域，可证明 ?Q òò dxdy = ò Qdy ; D ?x L ?Q ?P ∴òò( ? )dxdy = ò Pdx + Qdy.