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数理逻辑习题答案
数理逻辑习题答案
P33/1.2 习题 证明：
1）对任意集合A 和B ，如果A?B ，且B?A，则A=B 。
证明：
对任意的x，假设x ∈A 。x ∈A 且A?B => x ∈B
对任意的x，假设x ∈B 。x ∈B 且B?A => x ∈A
x ∈A 当且仅当x ∈B
引
∴A=B
哥
2 ）对任意集合A，B 和C，如果A?B ，且B?C，则A?C 。
证明：
对任意的x，假设x ∈A 。
是
x ∈A 且A?B => x ∈B
x ∈B 且B?C => x ∈C 个
∴对任意的x，如果x ∈A，则x ∈C
∴A?C 传
3 ）对任意集合A，Φ?A 且A?A 。 说
证明：
假设不是“对任意集合A，Φ?A” ，则有集合S，Φ 不是S 的子集，则存在a ∈Φ
且 a S(子集的定义) ，与Φ 不包含任何元素矛盾（空集定义）。假设错误。∴对
任意集合A，Φ?A 。
对任意的x，x ∈A => x ∈A 。∴对任意集合A ，A?A 。
4 ）对不同的个体a 和b ，
i ）{a}∈{a，{a}} ，{a}?{a，{a}}
证明：
1
{a，{a}}的元素是a 和{a} => {a}∈{a，{a}}
∴{a}∈{a，{a}}
{a}只有一个元素，这个元素是a，a ∈{a}。{a，{a}}的元素是a 和{a}=> a∈{a，
{a}}。即对任意的x，如果x ∈{a}，则x ∈{a，{a}}。（在本题中，x 只能取a 。）
∴{a}?{a，{a}}
ii ）{a} {b，{a，{a}}}，{a}不包含于{b，{a，{a}}}
证明：
{b，{a，{a}}}的元素是b ，{a，{a}}，没有{a}。∴{a} {b，{a，{a}}}
引
{b，{a，{a}}}的元素是b ，{a，{a}}，没有a => a {b，{a，{a}}}。存在a，
使得a ∈{a}且a {b，{a，{a}}}。并非对任意的x，如果如果x ∈{a}，则x ∈{b，
{a，{a}}}。 哥
∴{a}不包含于{b，{a，{a}}}
P35/1.4 习题 是
个
1）列出{ a，{b，c}} 的幂集的所有元素。
答：{ a，{b，c}}，{a}，{b，c}，Φ 。 传
P36/1.6 习题
1）X ，Y ，Z 是任意集合。证明集合运算∪和∩满足交换律、结合律和分配律。
i ）X ∪Y = Y ∪X （交换律） 说
证明：
考虑任意的x，假设x ∈X ∪Y ，则x ∈X 或x ∈Y ，即x ∈Y 或x ∈X ，即x
∈Y ∪X 。得到：若任给x，若x ∈X ∪Y ，则x ∈Y ∪X
∴X ∪Y?Y ∪X
同理，考虑任意的x，假设x ∈Y ∪X ，则x ∈Y 或 x ∈X ，即x ∈X 或x ∈
Y ，即x ∈X ∪Y 。得到：若任给x，若x ∈Y ∪X ，则x ∈X ∪Y
∴Y ∪X?X ∪Y
∵X ∪Y?Y ∪X 且Y ∪X?X ∪Y
2
∴X ∪Y = Y ∪X
iv ）X∩(Y∩Z)=(X∩Y) ∩Z （结合律）
证明：
考虑任意的x，假设x ∈X∩(Y∩Z) ，则x ∈X 且x ∈Y∩Z
x ∈Y∩Z => x ∈Y 且x ∈Z
x ∈X 且x ∈Y∩Z => x ∈X 且x ∈Y 且x ∈Z =>
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