《概率论与数理统计》5-2 常用统计分布.ppt

例3-5 解 故由t 的定义有 因而T 的分布密度为 例4-1 解 所以 例4-2 的概率分布. 解 由卡方分布的定义有 辛钦定理 费歇尔 Ronald Aylmer Fisher 英国统计与遗传学家，现代统计科学的奠基人之一，并对达尔文进化论作了基础澄清的工作。 1890 -1962 以天文学学士毕业于剑桥大学。 提出试验设计的随机化原则，使得科学试验可以同时进行多参数 影响超过半世纪，遍及全世界。在为达尔文演化论澄清迷雾的巨著《自然选择的遗传理论》 1930 中，说明孟德尔的遗传定律与达尔文的理论并不像当时部份学者认为的互相矛盾， 检测，并减少样本偏差。1925 年所著《研究工作者的统计方法》 而是相辅相成的。并且认为演化的驱力主要来自选择的因素远重於突变的因素。这本著作将统计分析的方法带入演化论的研究。为解释现代生物学的核心理论打下坚实的基础。1956年出版《统计方法与科学推理》。 3. 1 F分布定义 定义5.8 F分布是以英国统计学家R.A.Fisher姓氏的第一个 字母命名的. 1 2 3 即F分布极限分布也是正态分布. 例4 证 例5 解 由F分布的性质知 所以得 二、概率分布的分位数 1. 定义 2. 常用分布的上侧分位数记号 分布 N 0,1 t n F n1,n2 记号 定义5.9 3. 查表法 1 若X的分布密度关于y轴对称，则 x y O 特例： 根据正态分布的对称性知 0.95 0.975 O x y 由分布的对称性知 O x y 2 X的分布密度无对称性的情形 O x y 表4只详列到 n 60 为止 . 例如： 费歇 R.A.Fisher 公式： 此外，还可利用关系 证 内容小结 1.三大抽样分布: 的定义,性质. 2.概率分布的分位数概念. 解 例1-1 备用题 例1-2 解 所以Y的分布函数为 相应的由公式法可得，密度函数为 密度变换公式 例2-1 个样本， 分别为样本均值与方差，则 解 设总体为标准正态分布，从中抽取n 综上可得,正确答案为C. 例3-1 解 由定义5.7, 例3-2 的概率分布. 解 例3-3 解 例3-4 的概率分布. 解 由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量 整理得 故 且它们相互独立,再利用卡方分布的可加性知 由卡方分布的定义知 注 本例要求两个正态总体的方差相同! 从而, 由t分布的定义有 下 回 停 第二节 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布 的分位数 一、常见分布 本节介绍三类最常见的统计分布. 1. ? 2 分布 2. t 分布 3. F 分布 卡方检验的提出：1900年皮尔逊发表了一个著名的统计量，称之为卡方（χ2），用来检验实际值的分布数列与理论数列是否在合理范围内相符合，即用以测定观察值与期望值之间的差异显著性。“卡方检验法” 提出后得到了广泛的应用，在现代统计理论中占有重要地位。 1. ? 2 分布 历史 正态分布是自然界中最常见的一类概率 例如在统计物理中，若气体分子速度是随 的分布规律. 各分量相互独立，且均服 从 机向量 要求该分子运动动能 随机变量的平方以及平方和的概率分布问题. 近似服从正态分布.常见的问题是关于这些正态 分布，例如测量的误差；人的身高，体重等都 背景 要求S的分布,自然首先就要知道S中的随机变量 的概率分布. 对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方 和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方 分布就是在类似的实际背景下提出的. 1 定义 自由度： 定义5.6 证 定理5.4 性质1 证 3 性质2 此性质可以推广到多个随机变量的情形 性质3 证 解 例1 例2 解 相互独立. 历史上，正态分布由于其广泛的应用背景 样本量增大而接近正态分布, 情况下，样本均值的分布将随 有着大量感性的认识，我们 数据分析工作，对数据误差 的酿酒化学师威廉.戈塞（Willam S. Gosset）, 他在酒厂从事试验 在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻 和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布”， 2. t 分布 知道在总体均值和方差已知 但是Gosset在实验中遇到的样本容量仅有5~6 个，在其中他发现实际数据的分布情况与 正态分布有着较大的差异. O x y 于是Gosset怀疑存在一个不属于正态的 其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线. 当时他还在爱尔都柏林的健力士（Guinness）啤酒酿酒厂工作。酒厂禁止员工发表一切与酿酒研究有关的成果，但允许他在不提到酿酒的前提下，以笔名发表t分布的发现，所以论文使用了“学生”（Student）这一笔名在1908年被发表。之后与t分布有关的相关理论经由罗纳德·费歇尔（ Ronald Aylmer Fisher）发扬光