《概率论与数理统计》3-3 协方差与相关系数.ppt

例2 所以 那么 例3 * X与Y的相关系数; 证明见P46例2.12 注2? 二维正态分布密度函数中, 参数 代表了 2? 对于二维正态随机变量?X, Y?, 例4 A 不相关的充分条件, 但不是必要条件 B 独立的充分条件, 但不是必要条件 C 不相关的充分必要条件 D 独立的充分必要条件 显然应该选择C. 随机变量X与Y的方差存在且不等于0, 则D X ? Y ? D X ? D Y 是X和Y . 考研试题 解 例5 A 不独立 B 独立 C 不相关 D 相关 所以X与Y不相关. 解 设随机变量X与Y独立同分布, 记U ? X?Y, V ? X ? Y, 则随机变量U与V必然 . X与Y同分布 三、协方差矩阵 1. n 维随机变量协方差矩阵 设 n 维随机变量 的二阶混合中心矩 , 都存在, 则称矩阵 为n 维随机变量 的协方差阵. 2. 二维随机变量的协方差矩阵 其中 注10协方差矩阵为非负定矩阵. 注20 协方差矩阵的应用. 由于 引入矩阵 由此可得 由于 内容小结 1. 协方差与相关系数的定义 相关系数. X与Y的协方差, 2. 相关系数的意义 联系较紧密. 例1-1 设X与Y是两个随机变量, 且D?X? ? 1, D?Y? ? 3, cov?X, Y? ? ? 0.3, 求方差D?X?Y? 与 D?2X?3Y?. 备用题 解 例1-2 设随机变量X和Y均服从参数? ? 1/2 U?2X , V?X?Y, 求U与V的协方差 cov?U,V?. 的指数分布, 令函数 解 由随机变量X和Y均服从参数? ? 1/2的 指数分布, 则 而 D?X? ? 4, D?Y? ? 4. 设二维连续型随机变量?X, Y?的联合密度函数为 试计算D?2X ? 3Y ? 8?. 解 由性质3.16得 D?2X ? 3Y ? 8? ? D?2X? ? D?3Y? ? 2cov?2X, 3Y? ? 4D?X? ? 9D?Y? ? 12cov?X, Y? 例2-1 为了计算上述方差和协方差, 需要先计算E?X?, E?X2?, E?Y?, E?Y2?和E?XY?. 为此, 先计算X和Y的边缘分布. 由此计算得 于是可得协方差 代回原式, 可得 D?2X ? 3Y ? 8? 设二维连续型随机变量?X, Y?的联合密度函数为 解 例2-2 由协方差公式得 求Z的数学期望和方差; 2 求X与Z的相关系数; 解 例2-3 例2-4 解 例4-1 设随机变量X, Y有方差, 求证: 随机变量U ? X ? Y与V ? X ? Y不相关的充分必要条件为D?X? ? D?Y?. 解 因为 因此, cov?U,V? ? 0 的充要条件是 D?X? ? D?Y?. 例4-1 设掷三次均匀硬币, 随机变量X表示出现 的正面次数, Y表示正面次数与反面次数的差的 绝对值, 1 X与Y是否不相关 2 X与Y是否相互独立? 解 计算概率, 得联合分布律 Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 例4-2 计算行和与列和, 得边缘分布律 由于 因此, X与Y不相互独立. 由协方差公式得 于是X与Y不相关. 又因为 四、备选题 解 同时 因而 得出 得出 下 回 停 一、协方差的概念与性质 二、相关系数的意义与性质 三、协方差矩阵 §3.3 协方差及相关系数 协方差 一、协方差 Covariance 的概念与性质 1. 问题的提出 若随机变量X和Y相互独立, 那么 若随机变量X和Y不相互独立, 2. 协方差与相关系数的定义 定义3.7 X,Y 是二维随机变量, 量 称为随机变量X与Y的协方差, 记为cov X,Y , 即 而 称为 R.V. X与Y的相关系数 Correlation Coefficient ． 注1? X和Y的相关系数是标准化的随机变量 又称为标准协方差, 是个无量纲的量. 2? cov X,X ? D X . 的协方差. cov X,C ? 0. 3、协方差的计算公式 证 cov X,Y ? E XY ? E X E Y ; cov X,Y ? E ?X ? E X ][Y ? E Y ? ? E[XY ? XE Y ? YE X ? E X E Y ] ? E XY ? 2E X E Y ? E X E Y ? E XY ? E X E Y . 4、协方差的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 cov X,Y ? cov Y, X . cov X,Y ? E XY ? E X E Y . cov aX, bY ? abcov X,Y , a, b为常数． cov X1+X