《概率论与数理统计》3-1 随机变量的数学期望.ppt

每张彩票平均能得到奖金 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 ? 0.5 元 . 每张彩票平均可赚 2 ? 0.5 ? 0.3 ? 1.2 元 . 如何确定投资决策方向 某人现有10万元现金, 想投资于 某项目, 为期一年. 欲估成功的机会 为30%, 并可获利8万元, 失败的机会 为70%, 将损失2万元. 若存入银行, 同期间的利率为5%, 哪一种方案可 使投资的效益较大? 解 设X为投资利润, 则 存入银行的利息: 故应选择投资. 内容小结 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种 加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上 体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 2. 数学期望的性质 求证: 随机变量X没有数学期望. 证 由定义, 数学期望应为 由微积分学可知, 右边的级数发散. 因此, 随机变量X 没有数学期望. 设随机变量X的分布律为 备用题例 8-1 解 由于 例8-2 柯西分布 设随机变量X服从柯西分布, 求E?X?. 因X服从柯西分布, 则其密度函数为 因而其数学期望E X 不存在. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 例9-1 解 已知X在[0,60]上服从均匀分布, 其密度为 电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55 分钟从底层起行. 假设在早上的8点的第X分钟 到达底层候梯处, 且X在[0,60]上服从均匀分布 求游客等候时间的数学期望. （考研试题） 设Y是游客等候电梯的时间 单位:分 , 则 因此 ? 11.67 解 例 9-2 设随机变量X的分布密度函数为 试求 . 1993考研试题 解 例 9-3 （报童问题）设某报童每日的潜在卖报数 若记真正卖报数为Y, 则Y与X的关系如下： X服从参数为?的泊松分布. 如果每卖出一份报 可报酬a, 卖不掉而退回则每份赔偿b, 若某报童 买进n份报, 试求其期望所得. 进一步, 再求最佳 的卖报份数. 因此期望所得为 记所得为Z, 则Z与Y的关系如下: 则Y的分布为 当a, b, ? 给定后, 求n使M?n?达到极大. 利用软件包求得计算结果如下: * 例6 指数分布 求E?X?. 解 解 例7 伽玛分布 当? ?1时, X服从指数分布Exp???, 这时 设随机变量X? , 则密度函数为 设随机变量X? , 求E?X?. 常见连续型分布的数学期望小结 例8 解 但是 6. 数学期望不存在的实例 设离散型随机变量X的分布律为 由于 因而其数学期望E?X?不存在. 求E?X?. 二、随机变量函数的数学期望 一 一维随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出 X E X 数学期望 f是连续函数, f X 是随机变量, 如: aX+b, X2等等. f X 数学期望 如何计算随机变量函数的数学期望? 方法1 定义法 : f X 是随机变量, 先由X的分布求出f X 的分布，再按照数学期望 的定义计算E?f X ?. 2. 一维随机变量函数数学期望的计算 关键: 由X的分布求出f X 的分布. 见2.3节的相关内容 难点: 一般f X 形式比较复杂的, 很难求出其分布. 方法2 公式法 : 定理3.1 设X是一个随机变量, Y? f X , 则 当X为离散型时, P X?xk ?pk , k ?1,2,… ; 当X为连续型时, X的密度函数为p x . 求E[f X ]时, 只需知道X的分布即可. 证 现在只证明定理的特殊情形: 设X的密度函数为 函数 f 单调连续, x ?f ?1?y?为其反函数, 并且可导, 同时? ? y ? ?, 则 即 解 例9 设 求: 例10 设某种商品的需求量X是服从[10,30]上 的均匀分布的随机变量, 而经销商店进货数量 为区间[10, 30]中的某一整数, 商店每销售一单 位商品可获利500元. 若供大于求则削价处理, 每处理1单位商品亏损100元; 若供不应求, 则 可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利 300元.为使商品所获利润期望值不少于9280 元, 试确定最少进货量. 考研试题 解 设进货量为a, 则利润为 因此期望利润为 因此 即最少进货量为21单. 对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法有类似于定理3.1的结论. 1. 二维离散型情形 二 二维随机变量函数的数学期望 设?X,Y?为二维离散型随机变量, Z ? f ?X, Y?为 二元函数, 如果E?Z?存在, 其中?X, Y?的联合概率分布为pij . 2. 二维连续型情形 设?X,Y?为二维连续型随机变量, Z ? f ?X, Y?为 二元连续函数, 如果E?Z?存在, 则 其中?X,Y?的联合概率密度为p?x, y?. 注：虽然离