ECUST高数(上)期末复习提纲详解.ppt

内容:数项级数的敛散性 内容: 幂级数 2.幂级数的展开 3.求和 内容:函数与导数定义 内容：定义域，表达式，反函数，奇偶性，周期性，单调性，有界性。 难点：复合函数 重点：分段函数 极限、无穷大和无穷小 难点：极限概念的内涵，无穷小阶的概念 重点：极限的存在性判别和求解。 常见题型：求极限，比较无穷小量的阶 方法：极限四则运算，两个重要极限，夹逼准则，单调有界准则。 计算函数极限的方法 (7) 利用定积分定义 内容:函数的连续性 难点：理解函数连续的概念 常见题型：函数间断点判断和利用连续函数的性质证明一些命题。 导数定义和计算 导数定义应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (2)用导数定义求极限 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 高 阶 导 数 1.直接法：按照阶次一阶一阶的求，或利用莱布尼兹公式求解。 常用高阶导数公式 2.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 3.利用级数展开法 内容:中值定理,构造辅助函数 解题技巧：若问题中有未知的 ，首先分析题目中所给抽象函数 的条件， (1)如仅有连续性的条件，则只能利用闭区间上连续函数 的性质; (2)如有可导条件，微分中值定理一定会用到。 证明含一个中值的等式或根的存在, 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 内容：洛必达法则 洛必达法则 令 取对数 利用洛必达法则的注意事项： 1. 考察所求极限是否为未定式，如果不是，则不能利用洛必达法则。 2.在利用洛必达法则前，可先利用等价无穷小替换，有理化，或先求出乘积因子中的非零极限部分等方法，以简化计算过程。 内容：泰勒公式 利用泰勒公式的常见题型： 2.利用泰勒公式求未定式的极限； 3.求高阶导数在某些点的数值； 1.求某些函数的泰勒公式； 4.证明命题； 5.判断函数极值。 要求：掌握泰勒公式的形式及几种常见函数的泰勒公式。 可导函数几何性质的研究 1.证明函数的单调性和求单调区间； 2.证明曲线的凸凹性和求凸凹区间； 3.求函数的极值和最值； 4.求曲线的渐近线方程； 5.讨论曲线的几何性质及作图。 内容:定积分与变限积分求导 2.变限积分求导 一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) 3.积分的计算 3. 分部积分法 使用原则: 1) 由 易求出 v ; 2) 比 好求 . 一般经验: 按“反,对,幂,指,三”的顺序, 排前者取为 u , 排后者取为 二、几种特殊类型的积分 1. 一般积分方法 有理函数 分解 多项式及 部分分式之和 指数函数有理式 指数代换 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一 定都能积出. 例如 , 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 * 三、定积分的计算 内容: 定积分的应用 2.定积分的物理应用 (1). 广义积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 (2). 两个重要的广义积分 3.广义积分的计算