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第二章 习题课 导数与微分 * 一 基本要求 1 理解导数的概念,明确导数就是函数的变化率.理 解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和 法线方程.了解函数的可导与连续性的关系. 2 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法 则,掌握基本初等函数的导数公式,会求分段函数 的导数. 3 了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、二 阶导数的求法,会求简单函数的n阶导数. 4 会求隐函数和由参数方程所确定的一阶、二阶 导数. 5 理解微分的概念,了解微分形式不变性,会求微分. 1. 导数定义的几种形式 于是 可表达成多种形式： 二 要点提示 若 在 处函数增量与自变量增量之 比(当自变量增量趋于零时)的极限存在, 则 在 可导. 其中 于是 可表达成多种形式： 2. 初等函数的求导法 首先分析所给函数的结构,若是四则运算 用四则运算法则,若是复合结构则用求导的 链式法则. 例如: 3. 分段函数的导数 在对分段函数求导时,分段点处要用导数 的定义或者左、右导数来确定该点的导数是 否存在或求导. 例如 求分段函数 的导数. 三 问题与思考 问题1 设函数 在点 可导,且 则一定有 对吗？ 答:不一定. 例如 而 前者表示 在点 的导数,后者是函数值 (常数)的导数,必为0. 错的原因是将 与 的含义混淆了. 问题2 如果 在 不可导,那么曲线 在 处是否一定不存在 切线？ 答: 不一定. 例如 在 处不可导, 即 在 处有铅直切线 y 轴, 但曲线 思考： 曲线 在 处有切线， 则 在 处一定可导吗？ 问题3 设函数 , 用下列方法 求 正确吗？ 解 当 时,有 ; 当 时, 有 , 答:不正确. 在分段点 处, 由于不连续,所以 在 处不可导. 正确答案应是 对于连续的分段函数,在分段点处的导数, 应该用导数的定义(或单侧导数)来考察该点 是否可导. 例如 在x=0处连续， 故不可导. 问题4 设 ,求 . 下列做法是否正确？ 解 当 时, 不存在. 原因：函数 在 处可导,但导函数 当 时不一定存在极限. 但当 满足了以下定理条件时,有 答:不正确. 事实上, 不存在. 定理:如果 在 处连续,在 的去心邻域 内可导,且 存在,那么 在 处可导, 且有 注意: 在本章中,对分段函数在分段点的导数, 必须用定义来求. (可用以后要学的微分中值定理证明) 问题5 函数 的导数与微分的关系？ 有什么联系？有什么区别 ? 答: 联系:一元函数 可导与可微等价, 区别：导数与微分是两个完全不同的概念. 且 导数是函数对自变量的变化率, 描述函数变化的快慢； 微分是函数增量的线性主部, 描述函数变化的大小 . 1.设 在 邻域内连续，且有 求 2.设 存在,求 3.证明：可导的奇函数的导数是偶函数. 可导的偶函数的导数是奇函数. 四 典型题目 故连续. 故可导. 1.设存在 求 2.设 问 为何值时， 处(1)连续?(2)可导?(3)导数连续? 在 3.设