ch1矢量分析(电磁场与电磁波)详解.ppt

习 题一、关于矢量代数1.1; 1.5; 1.9二、关于矢量分析 1.12; 1.16; 1.20; 1.23;1.27 1.5.1 矢量的环流 在场矢量 空间中，取一有向闭合路径 ，则称 沿 积分的结果称为矢量 沿 的环流。即： 线元矢量 ：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。 反映矢量场漩涡源分布情况 讨论： 环量的定义 1.5.2 矢量的旋度 环流面密度 称为矢量场 在M点处沿 方向的漩涡源密度。 定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流： 1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。 2) 任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系： 矢量场的旋度 矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为 ，即： 式中： 表示矢量场旋度的方向； 旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 旋度的计算 直角坐标系： 柱面坐标系： 球面坐标系： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 旋度计算相关公式： 证明 证明 讨论：散度和旋度比较 1.5.3 斯托克斯定理 由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有 斯托克斯定理的证明： ＝ 得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。 曲面的剖分 方向相反大小相等抵消 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无旋场。 1.6 无旋场与无散场 1.6.1 无旋场 结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。 重要性质： 无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即 例如：静电场 1.6.2 无散场 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。 结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质： 无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场 例如，恒定磁场 （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 1.7 拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作： 式中： 称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中： 在圆柱坐标系中： 在球面坐标系中：(1.7.3) 第1章 矢量分析 电磁场与电磁波 电子科技大学电磁场与电磁波课程组 第一章 矢量分析 本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。 矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理 本章内容 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示 矢量可表示为： 其中 为模值，表征矢量的大小； 为单位矢量，表征矢量的方向； 说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 。教材上的矢量符号即采用印刷体。 1.1 矢量代数 1.1.1 标量和矢量 标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示 矢量用坐标分量表示 z x y 1.1.2 矢量代数运算 矢量的加法和减法 说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律： 2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 矢量的乘法 矢量与标量相乘 标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积） 说明： 1、矢量的点积符合交换律和分配律： 2、两个矢量的点积为标量 3、 矢量的矢积（叉积） 说明： 1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律： 2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式 q sin AB q 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的