专题; 求递推数列通项的特征根法.docVIP

递归数列通项公式的求法 　 确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。 基础知识 定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一．公式法 (1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为； (2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为； (3)已知数列的前项和为，则。 二．迭代法 迭代恒等式：； 迭乘恒等式： ，() 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知，求通项； 类型二：已知，求通项； 三．待定系数法 类型三：已知，求通项； 四．特征根法 类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。 证明：设特征根为，则 所以==== 即是以为公比，首项为的等比数列。 所以，所以 (1)当时，则其通项公式为，其中，； (2)当时，则其通项公式为，其中 4.（改编）已知数列 且 则数列的通项公式 。 命题意图： 本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。 参考答案： 解法一：由得 得 ∴ 故数列是以为首项以5为公比的等比数列 ∴= 故 解法二：由 得 得 ∴ 故数列是以为首项以为公比的等比数列 ∴= 故 解法三 由得到该数列的一个特征方程 即，解得或 ① ② 两式相除可得,而 故数列是以为首项以为公比的等比数列 ∴,故。 五．代换法 代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下 类型五：已知，，求通项。 六．不动点法 若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。 类型六：(1)已知，且，求通项； (2)已知，求通项； 七．数学归纳法 八．构造法 典例分析 例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且成立，求。 例2．已知数列{an}满足：，求。 例3．数列满足，求。 专题 求递推数列通项的特征根法 一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…① 若①有二异根，则可令是待定常数） 若①有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得 例1 已知数列满足，求数列的通项 例2已知数列满足，求数列的通项 二、形如的数列 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为…② 若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得 例3已知数列满足，求数列的通项 例4已知数列满足，求数列的通项