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2024年宁德市高三数学5月模拟质检考试卷

试卷满分150分，考试时间120分钟2024.05

一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．样本数据2，2，3，3，3，4，4，5，5，6的中位数和众数分别为（????）

A．3和3 B．和3 C．4和3 D．和2，3，4，5

2．已知集合.若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．设表示两条不同的直线，表示平面，则以下结论正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

4．记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（????）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（????）

A．9.6 B．11.0 C．11.4 D．12.0

6．已知圆台的上底半径为3，下底半径为6，母线长为6，则以下结论错误的是（????）

A．圆台侧面积为 B．圆台外接球的半径为6

C．圆台的体积为 D．圆台侧面上的点到下底圆心的最短距离为

7．已知抛物线的焦点为是抛物线上的两个动点.若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（????）

A．B．C． D．

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知是两个复数，下列结论中正确的是（????）

A．若，则 B．若为实数，则

C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数

10．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（????）

A． B． C． D．

11．若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论正确的是（????）

A． B．

C．为偶函数 D．的图象关于中心对称

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为.

13．中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶，《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”，指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》，规定一年为365.2425天，和现行公历格里高利历是一样的，但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，满足以上两个条件之一的年份均为闰年，则公元年，距上一个闰年的年数为.

14．已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．在中，角的对边分别为.已知，且.

(1)若，垂足为，求BD的长;

(2)若，求的长.

16．在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得.

??

(1)证明：平面；

(2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.

17．已知函数的图象在处的切线过点.

(1)求在上的最小值;

(2)判断在内零点的个数，并说明理由.

18．桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球，现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球，若取出的是黑球则放入一个白球，若取出的是白球则放入一个黑球，本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.

(1)求第2次取出黑球的概率;

(2)记操作完成次后袋中黑球的个数为变量.

（i）求的概率分布列及数学期望;

（ii）求的数学期望.

19．坐标平面上的点也可表示为，其中为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换.

(1)证明旋转变换公式：并利用该公式，求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标；

(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.

（i）求将曲线绕原点顺时针旋转后得到