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第29题立体问题常思降维化平面,几何最值莫忘函数不等式
(2017·全国·高考真题)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.
本例为平面图形折叠成空间图形,当折叠终止时,几何体是一个正三棱锥,这个正三棱锥底面边长是一个变元,从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二:①代数方法:建构函数关系式,针对函数关系式的特点选择求最值的方法;②几何方法:通过构造图形求解.在运用代数方法的过程中,由于选定的“变元”不同,建立的函数模型也不尽相同,从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后,结合函数思想求最值,解法也会有所不同,通常用函数性质法、导数法,也可能应用基本不等式法.这里思路一是,以动正三角形AEC的边长为变元建立函数关系式,运用导数法求其最大值.
由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,当的边长变化时,设的边长为cm,则的面积为.
的高为,则正三棱锥的高为
,
∴,∴.
∴所得三棱锥的体积.
令,则,由,得.
此时所得三棱锥的体积最大,为cm3.
(2023·全国·模拟预测)
1.在三棱锥中,平面,,且.若,则当三棱锥的体积最大时,的面积为(????)
A. B. C. D.
本例为平面图形折叠成空间图形,当折叠终止时,几何体是一个正三棱锥,这个正三棱锥底面边长是一个变元,从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二:①代数方法:建构函数关系式,针对函数关系式的特点选择求最值的方法;②几何方法:通过构造图形求解.在运用代数方法的过程中,由于选定的“变元”不同,建立的函数模型也不尽相同,从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后,结合函数思想求最值,解法也会有所不同,通常用函数性质法、导数法,也可能应用基本不等式法.这里思路二是,连接DO交BC于点G,设D,E,F重合于S点,正三角形的边长为x(x0),运用导数法求其最大值.
如下图,连接DO交BC于点G,设D,E,F重合于S点,正三角形的边长为x(x0),则.
,
,
三棱锥的体积.
设,则,
令,即,得,易知在处取得最大值.
∴.
(2024·广东·模拟预测)
2.将边长为2的正三角形沿某条线折叠,使得折叠后的立体图形有外接球,则当此立体图形体积最大时,其外接球表面积为(????)
A. B. C. D.
本例为平面图形折叠成空间图形,当折叠终止时,几何体是一个正三棱锥,这个正三棱锥底面边长是一个变元,从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二:①代数方法:建构函数关系式,针对函数关系式的特点选择求最值的方法;②几何方法:通过构造图形求解.在运用代数方法的过程中,由于选定的“变元”不同,建立的函数模型也不尽相同,从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后,结合函数思想求最值,解法也会有所不同,通常用函数性质法、导数法,也可能应用基本不等式法.这里思路三是,以动正三角形ABC的中心到边的距离为变元建立函数关系式,运用导数法求其最大值.
如图所示,连接OD交BC于点G,
由题意知,,易得,
∴OG的长度与BC的长度成正比.
设,则,,
,
则所得三棱锥的体积.
令,.
则,令,即,得.
则当时,,
∴.
∴所求三棱锥的体积的最大值为cm3.
(2024·河北邢台·二模)
3.如图,四边形和是两个相同的矩形,面积均为300,图中阴影部分也是四个相同的矩形,现将阴影部分分别沿,,,折起,得到一个无盖长方体,则该长方体体积的最大值为.
本例为平面图形折叠成空间图形,当折叠终止时,几何体是一个正三棱锥,这个正三棱锥底面边长是一个变元,从而导致三棱锥体积的变化.此类问题解答的基本方向有二:①代数方法:建构函数关系式,针对函数关系式的特点选择求最值的方法;②几何方法:通过构造图形求解.在运用代数方法的过程中,由于选定的“变元”不同,建立的函数模型也不尽相同,从而有不同解法.在建立体积表达式的函数模型之后,结合函数思想求最值,解法也会有所不同,通常用函数性质法、导数法,也可能应用基本不等式法.这里思路四是,以动正三角形ABC的中心到边的距离为变元建立函数关系式,运用基本不等式求最大值,注意等号成立的条件.
如图所示,连接OE交AC于点H,连接AO、OC,设.
则,,三
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