第19题递推数列求通项，模型思想是主线 2024年高中数学三轮复习之一题多解.docx

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第19题递推数列求通项，模型思想是主线

对负整数a，数，，依次成等差数列．

（1）求a的值；

（2）若数列满足（），，求的通项公式；

（3）若对任意，有，求m的取值范围．

第（1）小题，根据数，，依次成等差数列，列方程即可；第（2）小题思路一是将递推式两边同除以，构造等差数列写出通项公式；第（3）小题，在有了的通项公式之后，运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离，求m的取值范围，

（1）解：依题意有，即．

解得或，∵，∴．

（2）（构造等差数列）

原递推式即为，两边同除以，有．从而数列是以为首项，1为公差的等差数列．

∴，∴．

（3）解：由对均成立得

对均成立．

∵，两边同除，得，得对恒成立，而时，最小，为，∴．

1．设，数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数，．

第（1）小题，根据数，，依次成等差数列，列方程即可；第（2）小题思路二是利用待定系数法构造等比数列写出通项公式；第（3）小题，在有了的通项公式之后，运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离，求m的取值范围.

（1）解：依题意有，即．

解得或，∵，∴．

（2）（构造等比数列）

由，令，比较两式得，故原式为，数列是首项为，公比为－2的等比数列．

∴，∴．

（3）解：由对均成立得

对均成立．

∵，两边同除，得，得对恒成立，而时，最小，为，∴．

2．设数列满足：，（），数列满足：．求数列的通项公式．

第（1）小题，根据数，，依次成等差数列，列方程即可；第（2）小题思路三是利用迭代法求通项公式；第（3）小题，在有了的通项公式之后，运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离，求m的取值范围，

（1）解：依题意有，即．

解得或，∵，∴．

（2）（迭代法）

由得

（3）解：由对均成立得

对均成立．

∵，两边同除，得，得对恒成立，而时，最小，为，∴．

3．已知数列中，，，求.

【点评】

由递推关系求通项公式的常见类型和方法：

第一类：型如的一阶递推式，可改写为的形式，左端通过“累加”可以消项；右端是关于n的函数，可以求和．故运用“累加法”必定可行，即．

第二类：型如的递推式，可改写为的形式．左端通过“迭乘”可以消项；右端通常也可以化简，故运用“迭乘法”必定可行，即．

第三类：型如（，）的递推式，可由下面两种构造法求通项公式．

构造法一：由及，两式相减得，得是首项为，公比为p的等比数列，先求的通项公式，再利用“累加法”求的通项公式．

构造法二：若，则显然是以为首项、q为公差的等差数列；若，，，则构造数列，满足．运用待定系数法，解得，则是首项为，公比为p的等比数列．

第四类：型如（，，）的递推式，运用取倒数，构造数列，满足，运用换元法，即令，得，从而转换为第三类．

第五类：型如（，，）的递推式，运用两边取对数法得，令，转化为型，即第三类，再运用待定系数法．

第六类：型如（，，）的递推式，可构造数列，满足，运用待定系数法解得，，从而由等比数列求通项公式；进一步推广，若递推式中包含n的二次项、三次项，则构造的数列中也同样包含对应次数项．

第七类：型如（，）的递推式，可在等式两边同除以，构造数列，满足，令，则转化为，即第一类，再利用“累加法”求通项公式．

第八类：型如满足：，，（p、q是常数）的递推式，则称数列为二阶线性递推数列，可构造数列，满足，则即，为方程的两个根，此方程称之为特征方程，则数列的通项公式均可用特征根求得（即转化为第七类进一步求解）．

第九类：型如（，，，）的递推式，利用不动点法，其中的根为该数列的不动点，若该数列有两个相异的不动点，则为等比数列；若该数列有唯一的不动点，即方程等根时，为等差数列，这就是不动点求递推数列通项公式的方法．

除上述9种类型之外还有换元法、数学归纳法（归纳一猜想一论证）等．

（23-24高二下·河南·阶段练习）

4．记为数列的前项和，为数列的前项积，，已知，且，则下列说法正确的是（????）

A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最小值时，

（23-24高三上·河北邢台·开学考试）

5．函数的最小值是，数列满足，，则数列的通项公式是．

6．已知数列满足，，求的通项公式．

（2024高三·全国·专题练习）

7．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

已知数列中，，满足___________，求数列的通项an.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

（2024高三·全国·专题练习）

8．在数列中，且，求数列的通项公式.

（2024·广东佛山·一模）

9．记为数列的前项和，且满足.

(1)试问数列是否为等比数列，并说明理