第27题解三角形基于边角转化，几何向量解析锦上添花 2024年高中数学三轮复习之一题多解.docx

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第27题解三角形基于边角转化，几何向量解析锦上添花

在△ABC中，已知，，AC边上的中线，求sinA的值.

本例解答的关键步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添加辅助线不同就有多种求法，如果建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，思路一是，取BC中点E，连接DE，构造三角形BDE，利用余弦定理、正弦定理求解.

如图27-1所示，设E为BC的中点，连接DE，则，且.

设，在△BDE中利用余弦定理得，

即，解得，（舍去），故.

从而，即.

又，故正弦定理得，得.

（23-24高一下·安徽安庆·期中）

1．风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞行器．如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD，E为垂足，，，则（????）

A．8 B． C． D．-8

本例解答的关键步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添加辅助线不同就有多种求法，如果建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，思路二是，延长BD到点E使，构造三角形BCE，利用余弦定理求解.

如图27-2所示，延长BD到点E，使，连接CE、AE，则在△BCE中，，，，设，则由余弦定理可得，即.

从而，即.

又，故正弦定理得，得.

（2024·四川绵阳·三模）

2．在中，是边上一点，，若，且的面积为，则.

本例解答的关键步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添加辅助线不同就有多种求法，如果建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，思路三是，以B为坐标原点，为x轴正向建立平面直角坐标系，并且设点A位于第一象限，设点，确定其它相关点的坐标、线段长度等.

如图27-3所示，以B为坐标原点，为x轴正向建立平面直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

则得，

设点，则点.

由已知条件可得，

从而或（舍去）.

即点，故.

于是由正弦定理可得，故.

3．在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=

本例解答的关键步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添加辅助线不同就有多种求法，如果建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，思路四是，以B为坐标原点，为x轴正向建立平面直角坐标系，并且设点A位于第一象限，设点，确定其它相关点的坐标、向量CA的坐标等，利用向量夹角公式先求cosA.

如图27-3所示，以B为坐标原点直线BC为x轴建立平面直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

则由得点，即点，

设点，则点.由已知条件可得，

从而或（舍去）.即点，故.

于是.∴.

（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）

4．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为

本例解答的关键步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添加辅助线不同就有多种求法，如果建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，思路五是，利用向量运算转化为关于的方程求解.

设，①式平方可得.

解得.

故.

于是由正弦定理可得，故.

（2023·福建福州·模拟预测）

5．在中，角的对边分别是，且．

(1)求；

(2)若面积为，求边上中线的长．

本例解答的关键步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添加辅助线不同就有多种求法，如果建立平面直角坐标系，则解题的思路更加广阔，思路六是，通过添加辅助线构造一系列，过点A作，交BC于点H，延长BD到P使.连接AP、PC.过点P作，交BC的延长线于点N，运用平面几何法求解.

如图27-4所示，过点A作，交BC于点H，延长BD到P使.连接AP、PC.过点P作，交BC的延长线于点N，则，.

而，

∴，，.

故由正弦定理可得，故.

（23-24高一下·浙江·期中）

6．在中，设，，分别表示角，，对边．设边上的高为，且．

(1)把表示为（，）的形式，并判断能否等于？说明理由．

(2)已知，均不是直角，设是的重心，，，求的值．

【点评】

1.解斜三角形不论用何种方法，对图形几何特征的分析是关键，可以从不同的角度制定合理简捷的求解路线.在解三角形问题中，最为常见的思路是基于应用正弦定理和余弦定理的边角转化.本例解答的主要步骤是求出BC的长度，而求BC的长度方法很多，添线不同可以有多种求法，当建立了平面直角坐标系后，解题的思路进一步扩展，可以说是妙思巧解，总之，解三角形要精于构造，数形互助解题思路会更清晰.

2.解三角形常见的4种类型

（1）类型一：已知两角A、B与一边a，由及可求出角C，再求出b、c等.

（2）类型二：已知两边b、c与其夹角A，由求出边a，再由余弦