第四章 全等三角形 模型 专题讲义 2023-2024学年北师大版数学七年级下册.docxVIP

第PAGE1页共

第PAGE1页共NUMPAGES18页

全等三角形模型

1.平移模型

把△ABC沿着某一条直线平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.

常见模型：

【例1】如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB//DE,AC//DF,BE=CF.试说明:△ABC≌△DEF.

【变式1-1】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD，AC、DE交于点O．下列结论一定正确的是（）

∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=DF D．AC、DE互相平分

【变式1-2】如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB=CD，BC=DE．

(1)求证：；

【变式1-3】如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.试说明：∠F＝∠C.

【变式1-4】如图,EC//FB，EC=FB,其中点A,B,C,D在一条直线上.请给题目添上一组条件,使得△ACE≌△DBF,并说明理由.

【变式1-5】如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点F．

(1)求证：△AFB≌△CFD；

(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范围．

2.轴对称模型

将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

常见模型：

【例2】如图,已知CE,BD分别是等腰△ABC中AB,AC边上的中线,判断CE,BD之间的数量关系,并说明理由.

【变式2-1】阅读材料，并回答下列问题

如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；

如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论

（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外），．

（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝．

（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．

（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A′的位置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．

【变式2-2】如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12

【变式2-3】如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．

(1)求证：∠ADE=∠C．

(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．

3.旋转模型

将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.

常见模型:

【例3】如图,AB//CD，AB=CD,AD,BC相交于点0,BE//CF,BE,CF分别交AD于点E,F.

试说明:(1)△AB0≌△DC0;(2)BE=CF

【变式3-1】如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．

【变式3-2】如图,已知AE=AC,∠C=LE,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE的是()

A.∠B=∠D B.BC=DE

C.∠1=∠2 D.AB=AD

【变式3-3】将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．

??

(1)试说明△ABC≌

(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．

4.一线三等角模型（“K”）

基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，

【同侧】条件：B,E,C三点共线，

【异侧】条件：B,E,C三点共线，

【例4】如图,已知C是线段AB上一点