初二数学培优小专题05 与正方形相关的基本模型.pdf

培优小专题05与正方形相关的基本模型（原卷版）

类型一捕捉或构造三垂直模型

1．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为

y．

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）正方形EFGH有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由．

2．（2022•泉山区三模）如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC

＝3，BE＝DF＝4，求EF的长．

类型二捕捉手拉手模型（旋转全等）

3．（2021•酒泉一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝

DF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：AE＝AF；

（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．

4．（2021春•泰安期中）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形

ACDE，NC、BE交于点P．

求证：∠ANC＝∠ABE．

应用：①Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ的长度是多少？

②若AB=5√2，BC＝6．∠ABC＝45°，求BE的长度是多少？

类型三利用正方形既有轴对称又有中心对称性质

5．（2019春•绿园区期末）如图，菱形ABCD的面积为120平方厘米，正方形AECF的面积为50平方厘米，

则菱形ABCD的边长为厘米．

6．（2022春•封开县期末）如图，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）求证：四边形BEDF是菱形；

（3）若AC＝8，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

类型四其他

7．（黔东南州2•中考）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠

DOC的度数为（）

A．60°B．67.5°C．75°D．54°

8．（2021春•烟台期末）正方形ABCD的边长为4，AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG

过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积的最大值与最小值的和为．

培优小专题05与正方形相关的基本模型（解析版）

类型一捕捉或构造三垂直模型

1．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为

y．

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）正方形EFGH有没有最小面积？若有，试确定E点的位置；若没有，试说明理由．

思路引领：证明△AEH≌△BFE（AAS），则BF＝AE＝x，利用勾股定理得出y与x的函数关系，进而求解．

解：（1）∵四边形ABCD为正方形，四边形EFGH也是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠HEF＝90°，EH＝FE，

∴∠AEH+∠AHE＝90°，∠AEH+∠BEF＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF，

在△AEH和△BFE中，

∠A＝∠B，∠AHE＝∠BFE，EH＝FE，

∴△AEH≌△BFE（AAS），

∴BF＝AE＝x，BE＝2﹣x，

在Rt△BFE中，

22222

EF＝BF+BE＝x+（2﹣x），

2222

∴y＝EF＝x+（2﹣x）＝2x﹣4x+4（0＜x＜2）；

22

（2）∵y＝2x﹣4x+4＝x2（x﹣1）＋2，

∴当x=1时，y取得最小值2，此时E为AB中点；

故正方形EFGH有最小