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重庆市广益中学高一数学周练（2024.04.27）
（考试时间：100分钟总分：100分）
一、单选题（本题8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知复数，则的虚部为（????）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算、虚部的概念以及的性质计算求解.
【详解】因为，则的虚部为1，故A，B，D错误.
故选：C.
2．下列说法不正确的是（）
A．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
B．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
C．若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，则A∈l
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】B
【详解】若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A正确．若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，也可能平行，故B错误．若a?α，b?β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β.因为α∩β＝l，所以A∈l，故C正确．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确．故选B.
3．已知向量，若，则实数（????）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据向量坐标的线性运算及夹角公式得解.
【详解】，
若，
则，即，解得，
故选：C
4．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（????）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】若三点共线，，则，
理由如下：
因为三点共线，则有，即，
即，故，故，
其中，
、、三点共线，
，
，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
5．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由结合正弦定理得到，然后利用余弦定理求解.
【详解】解：因为，向量，且，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以，因为，所以，
故选：C.
6．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分，若是的中点，，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为（????）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，设扇形所在的圆的圆心为，根据为等边三角形可求内弧的弧长，从而可求弓形的面积，故可求阴影部分的面积.
【详解】设的外接圆的半径为，圆心为，如图：
因为，所以是等边三角形，，
因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，
所以弓形的面积为，
以为直径的半圆的面积为，
所以该月牙泉的面积为，
故选：D
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（????）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】在中，，设，则，
由正弦定理可知，，即，则，
在中，，
，又，则，故，
故选：B.
8．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
所以，
又由正方形的边长为，可得，
则
，
正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
二、多选题（本题3个小题，每小题6分，共18分。部分选对得部分分，有错得0分）
9．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则正确的有（）
A．则该半正多面体有12个顶点 B．则该半正多面体有14个面
C．则该半正多面体表面积为3 D．则该半正多面体体积为
【答案】ABD
【分析】由图形即可判断AB；由半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，可得正方形和正三角
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