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PAGE 17 A*算法求解八数码问题 八数码问题描述 所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、7、8，其中一个单元格是空的。将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个指定的数码盘的排列（目标状态），如图1所示 图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态 对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。如图1的初始排列，数码7右移等于空格左移。那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。所以，问题就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。 八数码问题的求解算法 2.1 盲目搜索 宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法 2.2 启发式搜索 启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。 先定义下面几个函数的含义： f*(n)=g*(n)+h*(n) (1) 式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g的最短路径的耗散值。 评价函数的形式可定义如(2)式所示： f(n)=g(n)+h(n) (2) 其中n是被评价的当前节点。f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。 利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。在A算法中，如果对所有的x， h(x)=h*(x) (3) 成立，则称好h(x)为h*(x)的下界，它表示某种偏于保守的估计。采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法，称为A*算法。 针对八数码问题启发函数设计如下： f(n)=d(n)+p(n) (4) 其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为 把S放入OPEN表，记f=hOPEN=NULL?是失败扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR选取OPEN表上未设置过的具有最小f值的节点BESTNODE, 把S放入OPEN表，记f=h OPEN=NULL? 是 失败 扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR 选取OPEN表上未设置过的具有最小f值的节点 BESTNODE,放入CLOSED表 BESTNODE是目标节点 建立从SUCCESSOR返回BESTNODE的指针 计算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC) SUC∈OPEN 开始 g(SUC)g(OLD) SUC=OLD,把它添加到BESTNDOE的后继结点表中 重新确定OLD的父辈节点为BESTNODE，并修正父辈节点的g值和f值，记下g(OLD) 是 成功 SUC∈CLOSED 把SUCCESSOR放入OPEN表，添进BESTNODE的后裔表 计算f值 是 否 是 否 是 否 否 否 图2 A*算法流程图 p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。 由于实际情况中，一个将牌的移动都是单步进行的，没有交换拍等这样的操作。所以要把所有的不在位的将牌，移动到各自的目标位置上，至少要移动从他们各自的位置到目标位置的距离和这么多次，所以最有路径的耗散值不会比该值小，因此该启发函数h(n)满足A*算法的条件。 A*算法流程图,如图2 A*算法总结 4.1，把起始状态添加到开启列表。 4.2，重复如下工作： a) 寻找开启列表中f值最低的节点，我们称它为BESTNOE b) 把它切换到关闭列表中。 c) 对相邻的4个节点中的每一个 *如果它不在开启列表，也不在关闭列表，把它添加到开启列表中。把BESTNODE作为这一节点的父节点。记录这一节点的f和g值 *如果它已在开启或关闭列表中，用g值为参考检查新的路径是否更好。更低的g值意味着更好的路径。如果这样，就把这一节点的父节点改为BESTNODE，并且重新计算这一节点的f和g值，如果保持开启列表的f值排序，改变之后需要重新对开启列表排序。 d) 停止 把目标节点添加到关闭列表，这时候路径被找到，或者没有找到路径，开启列表已经空了，这时候路径不存在。 4.3，保存路径。从目标节点开始，沿着每一节点的父节点移动直到回到起始节点。这就是求得的路径。 5、数据结构 采用结构体来保存八数码的状态、f和g的值以及该节点的父节点； struct Node{ int s[