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立体几何综合二：平行、截面问题

一、平行问题

ABCDABCDDDCD

例1、如图，在棱长为2的正方体1111中，点E，F分别为棱1，11的中点，

三棱锥BAEF的体积为________

ABCDABCDPABD

（练习）例2、如图，在棱长为2的正方体1111中，点在平面11内，则三

棱锥CPBD的体积为________.

1

轨迹问题：

例3、（高一下·浙江宁波·期中）如图，已知长方体ABCDABCD，ADAA2，AB3，

11111

AAADP

E、F分别是棱、的中点，点为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直

111

DPP

线与平面BEF无公共点，则点的轨迹长度为（）

1

A．22B．13C．10D．221

—1—

ABCDABCDE､F

例4、（高一下·湖北武汉·期末）在棱长为2的正方体1111中，分别是棱

BC､CCPBCCBAPAP

1的中点，是侧面11（包含边界）上的一动点，若1平面AEF，则线段1

长度的取值范围是（）

532532

A．1,B．,C．,5D．2,5

2422

存在性问题：

PE3

PABCDPDPC

例5、四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，

ED2

PF

若BF//平面AEC，则.

FC

例6、（2023·浙江A9·期中）如图所求，四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，F

PAEPB

为的中点，为中点.

(1)求证：PC//平面BFD；

PM

MPDEC//BFM

(2)已知点在上满足平面，求的值.