微积分下试卷(四套含答案).doc

填空题（共30分）

1设，则

2.曲面在点的切平面方程为

3.曲线在处的切线方程

4.计算

5．把直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分有

6．积分

7．

8．级数的敛散性为

9．级数的和函数，

10．

分数

评卷人

二．计算题（每小题7分，共70分）

1。设的全微分

解：两边取对数

-----（1），

再对（1）两边取全微分：

所以，

2．计算由方程确定的函数的全微分。

解：or

3．设，由方程确定，且F为可微函数，求。

解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：

即：

，整理，得：

，故：

4．设，其中有二阶连续偏导数，求

解：（一）

（二），所以

5。求曲线在点的切线。

解：方程组两边关于求导，得：

，

所以，切线向量为：曲线在点的切线为：

6．计算其中是。

解：

7．计算

解：

三．试证明：点是函数的极值点。（10分）

分数

评卷人

解：

因为所以点是函数的驻点。

。

记

所以，点是函数的极大值点。

分数

评卷人

四．设是由曲面和所围成的区域，试分别写出在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下的三次积分（14分）

解：

向xoy平面上的投影区域为，。

（一）在直角坐标系下

（二）在柱坐标下

（三）在球坐标下

五。选作题（每题10分，共40分）

1．在曲面上求点的坐标使此点处的切平面平行于坐标面。

解：设所求之点为

记，则曲面在处的切平面的法向量为

因为，所以，有：

，

解之，因此，所求之点。

2．设，其中为连续函数，是由曲面和所围成的区域，将I化为柱坐标及球坐标下的三次积分。

解：联立消去z，得向xoy平面上的投影区域为，。

（一）在柱坐标下

（二）在球坐标下

3．求

解：如图所示。宜采用球坐标计算之。

4．已知某一物体由及所围成且每一点处的面密度函数为，试求该物体的质量。

解：记：

由三重积分的物理意义，知：

。宜才采用直角坐标系下的“切片法”。

设为过点处的截面。

5．试证明在原点处连续且偏导数存在，但在原点处不可微。

证明：（一）因为

，

所以，，故函数在原点处连续。

（二）因为

所以，类似地，故函数在原点处可偏导。

（三）下面考察，即考察

不存在，故在原点处不可微。

一、填空题（每小题３分共18分）

1.已知，则____________．

2.已知函数由方程确定，则_________．

3.函数在点处的梯度_________________．

4.过直线：及点的平面方程为__________________．

5.极限=____________．

6．曲面在点处的切平面方程为____________________．

二、选择题（每小题4分共16分）

1.函数在点处（）．

（A）不连续；(B)连续但偏导数不存在；

(C)偏导数存在但不可微；(D)可微．

函数在点处最大方向导数为（）．

（A）；(B)；(C)１；(D)．

3.设由围成的圆域，则二重积分（）．

（A）；(B)；(C)；(D)．

4.圆弧以外而圆弧以内的图形的面积等于（）．

(A)；(B)；(C)；(D)．

三、计算题（共66分）

1．(10分)已知有二阶连续偏导数且，求．

2．(10分)设，确定隐函数与，求．

3．(10分)已知可微且,求极限

．

4．(9分)求抛物面在之间部分的面积．

5．(9分)设是由曲面与平面所围区域,计算三重积分：

．

6．(9分)设：,计算三重积分

．

7．(9分)求曲线：上与坐标平面距离最近的点．

参考答案

一、填空题

1．2．3．4．

5．6．

二、选择题1．（D）2．（D）3．（B）4．（D）

三、计算题

1．，，。

2．解方程组得。

3．原式=。

4．原式=。

5．原式=。

6．原式=

。

7．令，解方程组

得及驻点，根据题意该点即为所求。

一、填空题（每个空３分，共27分）

1．已知，则____________；____________．

2．已知函数有连续偏导数且满足，