浙江G5联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题.docxVIP

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浙江G5联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设向量，，且，则（????）

A．1 B． C．1或 D．或3

2．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（????）

A． B． C． D．

3．已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

4．在中，角的平分线交于，，，，则（????）

A． B． C． D．

5．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（????）

A． B． C． D．

6．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（????）

A． B． C． D．

7．已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是

A． B． C．2 D．

8．已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数，，则（????）

A．为纯虚数

B．复数在复平面内对应的点位于第四象限

C．（注意：表示复数的共轭复数）

D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线

10．如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（????）

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的

C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点

D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点

11．在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（????）

A．

B．的取值范围是

C．当时的外接圆半径为

D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为

三、填空题

12．在等腰梯形中，，，，，则．（用向量，表示）

13．已知复数满足（为虚数单位），则．

14．已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为．

四、解答题

15．已知复数（其中是虚数单位，）．

(1)若复数是纯虚数，求的值；

(2)求的取值范围．

16．已知，，且，，与的夹角为45°．，．

(1)求的值；

(2)若向量，的夹角为锐角，求实数的取值范围；

(3)若四边形为梯形，求的值．

17．已知正四面体的棱长为3，，，过点作直线分别交，于，．设，（）．

(1)求的最小值及相应的，的值；

(2)在（1）的条件下，求：

①的面积；

②四面体的内切球的半径．

18．如图1，设半圆的半径为2，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：

(1)求在圆锥中的线段的长；

(2)求四面体的体积；

(3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积．

19．在中，设，，分别表示角，，对边．设边上的高为，且．

(1)把表示为（，）的形式，并判断能否等于？说明理由．

(2)已知，均不是直角，设是的重心，，，求的值．

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参考答案：

1．C

【分析】由，可得，再根据数量积的坐标公式计算即可.

【详解】因为，

所以，解得或.

故选：C.

2．B

【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解.

【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图，

因为斜二测直观图为矩形，，，

则，

可得原图中（右图），，，

所以四边形的面积为.

故选：B.

3．D

【分析】根据向量的夹角公式求出，再根据平方关系求出正弦值.

【详解】因为向量，，

所以，

因为，

所以，

所以向量和向量夹角的正弦值为，

故选：D.

4．B

【分析】利用等面积法结合二倍角公式求解即可.

【