广东省深圳市南山区第二高级中学2023-2024学年高一下学期第四学段考试数学试题（含答案解析）.docx

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广东省深圳市南山区第二高级中学2023-2024学年高一下学期第四学段考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数的三角形式是（????）

A． B．

C． D．

2．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则

A． B．3 C．1 D．

3．已知平面向量与的夹角为，，，则（）

A． B．

C． D．

4．在中，，，其面积为，则（????）

A． B． C．13 D．

5．在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（????）

??

A． B． C． D．

6．在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（????）

A．

B．

C．

D．

7．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（????）

A．若，则为锐角三角形

B．若，则此三角形为等腰三角形

C．若，则与大小无法确定

D．若是锐角三角形，则

8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题正确的是（????）

A．若向量，满足，则，为平行向量

B．若是等边三角形，则

C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

D．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底

10．已知、都是复数，下列正确的是（????）

A．若，则

B．

C．若，则

D．

11．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（????）

A．

B．

C．的取值范围为

D．若，则为等边三角形

三、填空题

12．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则．

13．已知，，，则在方向上的投影向量是.

14．在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.

四、解答题

15．设复数．

(1)若是实数，求；

(2)若是纯虚数，求．

16．单位向量，满足.

(1)求与夹角的余弦值：

(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为，，，现计划沿直线AC开挖一条穿山隧道DE，经测量AD=150m，BE=33m，BC=100m．

(1)求PB的长：

(2)求隧道DE的长．

（结果精确到1m，附：，）

18．已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；

（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.

19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.

在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.

(1)求角C；

(2)若，的面积，求的周长l的取值范围；

(3)若，，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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参考答案：

1．D

【分析】利用复数的三角形式即可得解.

【详解】依题意，令，

则，所以，

因为，所以，

所以的三角形式是.

故选：D.

2．A

【分析】根据图像，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值.

【详解】根据图像可知，所以，故选A.

【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

3．B

【分析】根据向量的数量积公式及模长公式直接求解.

【详解】由，得，

又，

所以，

所以，

所以，

故选：B.

4．B

【分析】先利用面积公式求得，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】因为，所以，

由余弦定理得：.

故选：B

5．C

【分析】根据得到是的一个三等分点，然后利用中位线的性质得到，即可得到.

【详解】

??，

，

，即是的一个三等分点，

过点作的平行线交于，

是中点，，且是的中点，

从而，

，

，

又，则.

故选：C．

6．B

【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.

【详解】对于A：由正弦定理可知，

∵，∴，故三角形有一解；

对于B：由正弦定理可知，，

∵，∴，故三角形有两解；

对于C：由正弦定理可知，

∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；

对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.

故选：B.

7．D

【分析】结合余弦定理及内角和的性质判断选项A，由条件结合余弦定理可判断选项B，利用正弦定理以及三角形中大角对大