简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx

03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

知识梳理1

知识梳理

1.简单的逻辑联结词

（1）命题中的且、或、韭叫做逻辑联结词.

⑵命题收、p7q、非p的真假判断

p

q

pAq

pVq

非p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词与存在量词

（1） 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题.

（2） 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题.

命题

命题的否定

xEM，p(x)

x0EM，非p(x0)

x0EM，p(x0)

xEM，非p(x)

⑶

要点整合

若pAq为真，则p,q同为真；

若pAq为假，则p,q至少有一个为假；

若pVq为假，则p，q同为假；

若pVq为真，则p，q至少有一个为真.

“pAq”的否定是“（非p）V（非q）”；

“pVq”的否定是“（非p）A（非q）”.

题型一.含有一个逻辑联结词命题的真假性

例1.已知命题p：对任意xER，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是（ ）

A.pAq B.（非p）A（非q）

C.（非p）Aq D.pA（非q）

解析： 根据指数函数的图象可知p为真命题.由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以

q为假命题，所以非q为真命题.逐项检验可知只有pA（非q）为真命题.故选D.

［答案］D

判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤

第一步：先判断命题p与q的真假性，从而得出非p与非q的真假性.

第二步：根据“pAq”与“pVq”的真值表进行真假性的判断.

变式1.设命题p：3^2,q：函数f（x）=x+!（xER）的最小值为2,则下列命题为假命题的是

x

（）

A.pVq B.pV（非q）

C.（非p）Vq D.pA（非q）

解析：选C.命题p:3A2是真命题，命题q是假命题，

?.?（非p）Vq为假命题，故选C.

变式2.已知命题p：xER，2x<3x，命题q：xER，x2=2—x，若命题（非p）Aq为真命题，则x的值为（）

A.1B

A.1

C.2 D.-2

解析：选D.：非p:x￡R,243x,要使(非p)Aq为真，

???非p与q同时为真.由2x^3x得(3)N1,

.?.xW0,由x2=2—x得x2+x—2=0,

.?.x=1或x=—2,又xW0,

?x=—2.

变式3.设p：y=logx(a>0,且a^1)在(0,+8)上是减函数；q：曲线y=x2+(2a—3)x+1与x轴有两个不同的交点：若pV(非q)为假，则a的范围为.

解析:?:p7(非q)为假，「.p假q真.

p为假时，a>1,

q为真时，(2a—3)2—4>0,即a<；或a>；,

「a的范围为

(1,+8)由-8，9口(5,+8)

=(|,+8)

答案：d，+8)

题型二含有一个M词的命题的否定

例2.命题"x0e(0,+8),inx0=x0—1”的否定是( )

xE(0,+8),inxUx—1

x(0,+8),inx=x—1

x0e(0,+8),inx0Ux0—1

x0(0,+8),inx0=x0—1

解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否

定为x^(0,+8),inx/x—1,故选A.

［答案］A

特称命题与全称命题否定的判断方法：“”“”相调换，否定结论得命题.对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；

判定全称命题“xEM,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立即可.

变式1.命题p：x0ER,x0+2x0+2W0的否定为( )

非p：x0ER,xg+2x0+2>0

非p：xER,x2+2x+2W0

非p：xER,x2+2x+2>0

非p：x0ER,x2+2x0+2<0

解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p:x￡R,x2+2x+2>0,故选C.

变式2.设命题p：任意两个等腰三角形都相似，q：x0ER,x0+lx0l+2=0,则下列结论正确的是()

A.pVq为真命题 B?(非p)Aq为真命题

C.pV(非q)为真命题 D.(非p)A(非q)为假命题

解析：选C.Vp假，非p真；q假，非q真，

Z.pVq为假，(非p)Aq为假，pV(非q)为真，(非p)A(非q)为真，故选C.

题型三.全称命题与特称命题真假性的应用

例3.已