北师大版高中数学选修2-3同步学案：第2章 5　第2课时　离散型随机变量的方差.docVIP

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第2课时离散型随机变量的方差

学习目标

核心素养

1.理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)

2．能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题．(难点)

通过对离散型随机变量方差的学习,培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.

1．离散型随机变量的方差和标准差

(1)方差DX＝E(X－EX)2.

(2)标准差为eq\r(DX).

2．方差的性质

D(aX＋b)＝a2DX.

3．方差的意义

方差可用来衡量X与EX的平均偏离程度,方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围；方差越大,则随机变量的取值就越分散．

1．若随机变量X服从两点分布,且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5,则EX和DX分别为()

A．0.25,0.5B．0.5,0.75C．0.5,0.25D．1,0.75

C[EX＝0.5,DX＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]

2．已知随机变量ξ,Dξ＝eq\f(1,9),则ξ的标准差为________．

eq\f(1,3)[ξ的标准差eq\r(Dξ)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).]

3．已知随机变量ξ的分布列如下表：

ξ

－1

0

1

P

eq\f(1,2)

eq\f(1,3)

eq\f(1,6)

则ξ的均值为________,方差为________.

－eq\f(1,3)eq\f(5,9)[均值Eξ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)；方差Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋(x3－Eξ)2·p3＝eq\f(5,9).]

求离散型随机变量的方差

【例1】在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球,其中有1个红球和4个黄球,规定每次从袋中任意摸出一球,若摸出的是黄球则不再放回,直到摸出红球为止,求摸球次数X的均值和方差．

[解]X可能取值为1,2,3,4,5.

P(X＝1)＝eq\f(1,5),

P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5),

P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5),

P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5),

P(X＝5)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,5).

∴X的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

由定义知,EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.

DX＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.

1．求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤：

(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值；

(2)求X取每个值时的概率；

(3)写X的分布列；

(4)求EX,DX.

2．若随机变量X服从二项分布,即X～B(n,p),

则EX＝np,DX＝np(1－p)．

1．某网站针对某歌唱比赛的歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下：

观众年龄

支持A

支持B

支持C

20岁以下

200

400

800

20岁以上(含20岁)

100

100

400

(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值；

(2)若在参加活动的20岁以下的人中,用分层抽样的方法抽取7人作为一个样本,从7人中任意抽取3人,用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数,写出X的分布列,并计算EX,DX.

[解](1)因为利用分层抽样的方法抽取n个人时,从“支持A”的人中抽取了6人,

所以eq\f(6,100＋200)＝eq\f(n,200＋400＋800＋100＋100＋400),解得n＝40.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为

X

0

1

2

P

eq\f(2,7)

eq\f(4,7)

eq\f(1,7)

所以EX＝0×eq\f(2,7)＋1×eq\f(4,7)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(6,7),DX＝eq\f(2,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,7)))eq\s\up7(2)＋eq\f(4,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,7)))eq\s\up7(2)＋eq\f(1,7)×

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,7)))eq\s\up7(2)＝eq\f(20,49).

均值、