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古典力学(解析力学)

PhysicsLab.2021

数理物理学班

1ニュートン力学とラグランジュ力学

1.1ニュートン力学

ニュートン力学は、有名なF=ma、もう少し詳しく書くと

¨

F=mx

のように与えられます。xの上の点は、時間tに関しての微分を表します。

力Fは、物体が複数ある場合は他の物体との相互作用(重力や摩擦力、垂直抗力など)からも由来しますが、1

物体だけに着目し、その物体がポテンシャルの中に入っていると考える場合が多いです。

ポテンシャルは位置エネルギーとも呼ばれ、重力ポテンシャルや静電ポテンシャルなど、力を生み出す原因の

総称です。もっとも簡単なポテンシャルは位置のみに依存するU(x)の形で、力は

F=U(x)

と与えられます。この場合、F=maの式を成分ごとに

∂U

Fi==mx¨i

∂xi

と書くことができます。

1.2ラグランジュ力学:作用と停留作用の原理

ニュートン力学では、各物体に働く力を求めて運動方程式を立てます。しかし、物体1つ1つではなく、相互作

用する物体すべてがまとまった物理系の運動を求めることもできます。このようなニュートン力学の拡張を、解析

力学と言います。

解析力学では、「物体の位置」ではなく、「系の状態を表す変数」の時間変化を求めます。以下のように一般化さ

れます。

•物体物理系

•位置状態

•位置座標力学変数

•速度変化率

•運動変化(motion,dynamics)

•経路変化履歴

(ところで、その対応性に着目して、「時間変化方程式」と呼ぶべきところを逆に「運動方程式」と呼んだり、「変化

履歴」を「経路」と呼んだりもします。言葉には慣れておきましょう。）

解析力学は大きく分けて「ラグランジュ力学」と「ハミルトン力学」という2種類の記述(formalism)があり

ます。最初に紹介するラグランジュ力学は、「次の瞬間」を決めて経路を確定するのではなく、経路としてのいくつ

かの可能性の中で「最適解」となる経路を採択する、という方向で運動を定めます。

1

具体的な例を見ていきましょう。AさんがBさんにボールを投げるとします。回転はいったん無視すると、力

学変数qはボールの3つの位置座標xと考えることができます。

一番先には、ラグランジュ力学を展開するために、最初・最終時間t(0),t(1)、最初・最終状態(ここでは始・終点)

q(0),q(1)を決めます。そして次に、決めた始点・終点条件に当てはまる経路、つまり時刻t(a)で状態q(a)(a=0,1)

となる任意の経路を考えます。

少なくともこの段階では、経路は全く任意で良いです。放物線でなくても、直線でも、正弦型でも構わないで

す。また、「経路」は軌跡とは違い、各点をいつ通ったかでも区別されるので、放物線軌跡の中でも等速運動する経

路を考えることもできます。

経路を想像するまでは、物理学とは言えません。そこでいよいよラグランジュ力学の番です。「停留作用の原理」

によって、系が本当に取り得る経路を1つに絞り込みます。

作用まず経路と言っていましたが、数学的にはq:t[t(0),t(1)]q(t)で、q(t(a))=q(a)となるような関数q(t)

を表現します。この経路q(t)に対して、次のような積分を考えます。

S[q]=t(1)˙