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湖南省醴陵市2023年高三教学质量监测(三)数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在中,,则()
A. B. C. D.
2.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()
A.48 B.63 C.99 D.120
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B.
C. D.
4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是()
A. B.2
C. D.
5.已知圆:,圆:,点、分别是圆、圆上的动点,为轴上的动点,则的最大值是()
A. B.9 C.7 D.
6.若函数在时取得最小值,则()
A. B. C. D.
7.如图,棱长为的正方体中,为线段的中点,分别为线段和棱上任意一点,则的最小值为()
A. B. C. D.
8.已知函数(,)的一个零点是,函数图象的一条对称轴是直线,则当取得最小值时,函数的单调递增区间是()
A.() B.()
C.() D.()
9.已知数列对任意的有成立,若,则等于()
A. B. C. D.
10.已知为定义在上的奇函数,且满足当时,,则()
A. B. C. D.
11.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()
A.6种 B.12种 C.24种 D.36种
12.已知条件,条件直线与直线平行,则是的()
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,则球的表面积为__________.
14.在三棱锥中,,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的表面积为______.
15.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.
16.已知曲线,点,在曲线上,且以为直径的圆的方程是.则_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知为等差数列,为等比数列,的前n项和为,满足,,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,数列的前n项和,求.
18.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上上一点,且点的横坐标为,.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线与抛物线交于、两点,过点且与直线垂直的直线与准线交于点,设的中点为,若、、四点共圆,求直线的方程.
19.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.
(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.
(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.
①求;
②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.
20.(12分)如图,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分别为,,的中点,以为折痕将折起,使点到达点位置(平面).
(1)若为直线上任意一点,证明:MH∥平面;
(2)若直线与直线所成角为,求二面角的余弦值.
21.(12分)已知函数,且.
(1)求的解析式;
(2)已知,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围.
22.(10分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:
甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350
乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.
(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和
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