线性代数第一章行列式课件.ppt

第一章行列式;§1二阶与三阶行列式;一、二元线性方程组与二阶行列式;其求解公式为;二阶行列式的计算;二元线性方程组;例1;三阶行列式的计算;方程左端;引例;问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的

排法？;所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.

因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.;对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.

n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.;定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.;例1：;§3n阶行列式的定义;所以，三阶行列式可以写成;二、n阶行列式的定义;;解：;;;思考题：用定义计算行列式;思考题;故的系数为－1.;§4对换;一、对换的定义;备注

相邻对换是对换的特殊情形.

一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.

如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.;二、对换与排列奇偶性的关系;;;既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么;;于是与同时为奇数或同时为偶数.;经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此.所以，在一系列对换之后有;定理2n阶行列式也可定义为;例1试判断和;例2用行列式的定义计算;解;1.对换改变排列奇偶性．;§5行列式的性质;一、行列式的性质;性质1行列式与它的转置行列式相等.;性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.;性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.;推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．;验证;性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,

例如：;验证;性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．;例１;;;;;;例2计算阶行列式;例3设;证明;对D的前k行作运算，再对后n列作运算，

把D化为下三角形行列式;(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).;计算4阶行列式;思考题解答;§6??列式按行(列)展开;一、引言;例如;引理一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除

外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．;即有;我们以4阶行列式为例.;思考题：能否以代替上述两次行变换？;被调换到第1行，第1列;二、行列式按行（列）展开法则;同理可得;例（P.12例7续）;证明用数学归纳法;假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行

减去前行的倍：;n?1阶范德蒙德行列式;推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;;例计算行列式;例设,的元的余子式和

代数余子式依次记作和，求;解;§7克拉默法则;二元线性方程组;一、克拉默法则;其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即;定理中包含着三个结论：;关于克拉默法则的等价命题;例解线性方程组;线性方程组;齐次线性方程组的相关定理;练习题：问取何值时，齐次方程组;思考题;1.用克拉默法则解线性方程组的两个条件