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计算题专项练（二）（限时：35分钟）

1．1896年贝克勒尔发现含铀矿物能放出放射线。设其中一个静止的铀核(eq\o\al(238,92)U)放出α粒子生成钍核(eq\o\al(234,90)Th)，设反应中放出的α粒子的动量大小为p。反应中释放的能量为ΔE，已知普朗克常量为h。

(1)求生成钍核的物质波波长λ；

(2)若反应中释放的能量全部转变为动能，求α粒子的动能Ek。

答案(1)eq\f(h,p)(2)eq\f(117,119)ΔE

解析(1)设生成钍核的动量大小为p1，根据动量守恒定律得p＋(－p1)＝0

其物质波波长为λ＝eq\f(h,p1)＝eq\f(h,p)。

(2)设α粒子和钍核的质量分别为m1、m2，动能分别为Ek、Ek1，有

Ek＝eq\f(p2,2m1)，Ek1＝eq\f(peq\o\al(2,1),2m2)，ΔE＝Ek＋Ek1

联立可得Ek＝eq\f(m2ΔE,m1＋m2)

又eq\f(m1,m2)＝eq\f(4,234)

解得Ek＝eq\f(117,119)ΔE。

2．举世瞩目的北京冬奥会成功举行，比赛实况通过在地球同步轨道的“中星9B卫星”向全球直播。冬奥跳台滑雪项目被称为勇敢者的运动，运动员在落差100多米的山地间飞翔。某运动员的运动可简化成从倾角为θ斜面的跳台上做初速为v0的平抛运动，如图1所示。已知万有引力恒量为G，地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g。求：

图1

(1)该卫星离地面的高度h；

(2)跳台滑雪运动员落到斜面上的速度大小v。

答案(1)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R(2)v0eq\r(1＋4tan2θ)

解析(1)在地球表面万有引力等于重力eq\f(GMm,R2)＝mg

根据万有引力提供向心力

eq\f(GMm,（R＋h）2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))

联立解得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R。

(2)运动员落在斜面上，则有tanθ＝eq\f(h,x)

其中h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t

联立解得t＝eq\f(2v0tanθ,g)

竖直分速度为vy＝gt

跳台滑雪运动员落到斜面上的速度大小

v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))

联立解得v＝v0eq\r(1＋4tan2θ)。

3．如图2所示，“eq\a\vs4\al()”形轻框架的水平细杆OM粗糙，竖直细杆ON光滑，质量分别为m、2m的金属环a、b用长为L的轻质细线连接，分别套在水平杆和竖直杆上。a、b处于静止状态，细线与水平方向的夹角θ1＝53°。已知a环与水平杆间的动摩擦因数为μ＝0.5，设最大静摩擦力约等于滑动摩擦力，重力加速度为g。

图2

(1)求a环受的摩擦力大小Ff；

(2)若细线与水平方向的夹角θ2始终为45°，框架绕竖直杆ON匀速转动，求转动的角速度ω满足的条件；

(3)若细线与水平方向的夹角θ1＝53°，框架绕竖直杆ON从静止起缓慢加速转动，使a环缓慢向右移动，直到细线与水平杆间夹角θ3＝37°的位置，求此过程中a环与水平杆OM间产生的内能Q及对整个装置做的功W。

答案(1)eq\f(3,2)mg(2)eq\r(\f(g,\r(2)L))≤ω≤eq\r(\f(7g,\r(2)L))(3)eq\f(3,10)mgLeq\f(71,30)mgL

解析(1)对b环竖直方向受力分析可得T1sinθ1＝2mg

对a环水平方向上，受力分析可得T1cosθ1＝Ff

联立解得Ff＝eq\f(3,2)mg。

(2)根据整体法分析可得，a环对OM杆的压力为FN＝mg＋2mg

又Ffm＝μFN

框架绕竖直杆ON匀速转动，半径为r2＝Lcosθ2

根据受力分析可得T2sinθ2＝2mg

对a环，当摩擦力水平方向向右时有

T2cosθ2－Ffm＝mωeq\o\al(2,1)r2

当摩擦力水平方向向左时有

T2cosθ2＋Ffm＝mωeq\o\al(2,2)r2

联立解得eq\r(\f(g,\r(2)L))≤ω≤eq\r(\f(7g,\r(2)L))。

(3)对b环受力分析可得T3sinθ3＝2mg

又T2cosθ3＋Ffm＝mωeq\o\al(2,3)r3

转动的半径为r3＝Lcosθ3

摩擦力做的功，即产生的内能为

Q＝FfmL(cosθ3－cosθ1)＝eq\f(3,10)mgL

根据能量守恒定律可得，对整个装置做的功W为

W＝2mgL(sinθ1－sin