高中数学人教B版4第一章坐标系极坐标系第1章极坐标系.docxVIP

极坐标系

1.2.1平面上点的极坐标

1.2.2极坐标与直角坐标的关系

1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.(难点)

2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化.(重点)

[基础·初探]

1.平面上点的极坐标

(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴.

(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.

2.点与极坐标的关系

(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数.特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.

3.极坐标与直角坐标的关系

(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝eq\f(π,2)的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图1-2-1所示).

图1-2-1

(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点M

直角坐标(x，y)

极坐标(ρ，θ)

互化公式

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))

ρ2＝x2＋y2

tanθ＝eq\f(y,x)(x≠0)

[思考·探究]

1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？

【导学号

【提示】极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置.

2.极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？

【提示】建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是惟一的.所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系.

3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？

【提示】任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.

事实上，若ρ0，则sinθ＝eq\f(y,ρ)，cosθ＝eq\f(x,ρ)，

所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x).

[自主·测评]

1.极坐标系中，点M(1,0)关于极点的对称点为()

A.(1,0) B.(－1，π)

C.(1，π) D.(1,2π)

【解析】∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(p，π＋θ)，∴M(1,0)关于极点的对称点为(1，π).

【答案】C

2.极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是()

A.(1,0) B.(2，eq\f(π,4))

C.(3，eq\f(π,2)) D.(4，π)

【答案】C

3.点A的极坐标是(2，eq\f(7π,6))，则点A的直角坐标为()

A.(－1，－eq\r(3)) B.(－eq\r(3)，1)

C.(－eq\r(3)，－1) D.(eq\r(3)，－1)

【解析】x＝ρcosθ＝2coseq\f(7,6)π＝－eq\r(3)，

y＝ρsinθ＝2sineq\f(7,6)π＝－1.

【答案】C

4.点M的直角坐标为(0，eq\f(π,2))，则点M的极坐标可以为()

A.(eq\f(π,2)，0) B.(0，eq\f(π,2))

C.(eq\f(π,2)，eq\f(π,2)) D.(eq\f(π,2)，－eq\f(π,2))

【解析】∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(π,2)，且θ＝eq\f(π,2)，

∴M的极坐标为(eq\f(π,2)，eq\f(π,2)).

【答案】C

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：