高中数学人教B版本册总复习总复习2023版第2章第2章函数的零点.docxVIP

2．4函数与方程

2．函数的零点

1．理解函数零点的概念．(重点)

2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)

3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1函数的零点

阅读教材P70～P71“例”以上部分内容，完成下列问题．

1．定义

如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．

2．性质

(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．

(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有的函数都有零点．()

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()

(3)f(x)＝x－eq\f(1,x)只有一个零点．()

【答案】(1)×(2)×(3)×

教材整理2二次函数零点与一元二次方程

实根个数的关系

阅读教材P70“倒数第2行”～P71“例”以上的内容，完成下列问题．

判别式Δ

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

有两相异实根x1，x2(x1x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实根

二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点

有两个零点x1，x2

有一个二重零点x1＝x2

没有零点

已知函数f(x)＝x2－2x＋a的图象全部在x轴的上方，则实数a的取值范围是________.

【导学号

【解析】函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a0，a1.

【答案】(1，＋∞)

[小组合作型]

求函数的零点

(1)函数y＝1＋eq\f(1,x)的零点是()

A．(－1,0) B．x＝－1

C．x＝1 D．x＝0

(2)求下列函数的零点．

①f(x)＝－x2－2x＋3；

②f(x)＝x4－1.

【精彩点拨】求函数对应方程的根，即为函数的零点．

【自主解答】(1)令1＋eq\f(1,x)＝0，解得x＝－1，

故选B.

(2)①由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，

所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.

故函数的零点是－3,1.

②由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，

所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.

故函数的零点是－1,1.

【答案】(1)B(2)①－3,1②－1,1

求函数的零点时，通常转化为解方程f?x?＝0，若方程f?x?＝0有实数根，则函数f?x?存在零点，该方程的根就是函数f?x?的零点；否则，函数f?x?不存在零点.

[再练一题]

1．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.

【导学号

【解析】∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，即b＝－2a，

∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，

∵－ax(2x＋1)＝0，即x＝0，x＝－eq\f(1,2)，

∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－eq\f(1,2).

【答案】0，－eq\f(1,2)

函数零点个数的判断

判断下列函数零点的个数．

(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－eq\f(1,x).

【精彩点拨】(1)中f(x)为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．

【自主解答】(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝10，

∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点．

(2)法一由x2－eq\f(1,x)＝0，得x2＝eq\f(1,x).

令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝eq\f(1,x).

在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－eq\f(1,x)只有一个零点．

法二令f(x)＝0，即x2－eq\f(1,x)＝0.

∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.

∴x＝1或x2＋x＋1＝0.

∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－30，

∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．

确定函数零点个数的方法

1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．

2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．

3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，