高中数学人教B版4第二章参数方程第2章一些常见曲线的参数方程.docxVIP

一些常见曲线的参数方程

2.4.1摆线的参数方程

2.4.2圆的渐开线的参数方程

1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程.(重点)

2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程.(难点)

[基础·初探]

1.摆线

(1)定义

一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M的轨迹称为摆线.

(2)参数方程

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a?t－sint?,y＝a?1－cost?))(t是参数).

2.圆的渐开线

(1)定义

把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切.绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆.

(2)参数方程

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a?cost＋tsint?,y＝a?sint－tcost?))(t是参数).

[思考·探究]

圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t的几何意义是什么？

【提示】根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a是指基圆的半径，而参数t是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角t.显然点M由参数t惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.

同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a是指定圆的半径，参数t是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.

[自主·测评]

1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()

A.只有圆才有渐开线

B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形

C.正方形也可以有渐开线

D.对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同

【解析】不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.

【答案】C

2.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()

A.π π

π π

【解析】根据条件可知圆的摆线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t－3sint,y＝3－3cost))(t为参数)，把y＝0代入可得cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z).而x＝3t－3sint＝6kπ(k∈Z).根据选项可知应选C.

【答案】C

3.半径为4的圆的渐开线的参数方程是________.

【解析】将a＝4代入圆的渐开线方程即可.

【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4?cost＋tsint?,y＝4?sint－tcost?))

4.给出某渐开线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cost＋3tsint,y＝3sint－3tcost))(t为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数t取eq\f(π,2)时，对应的曲线上的点的坐标是________.

【解析】与渐开线的参数方程进行对照可知，a＝3，即基圆半径是3，然后把t＝eq\f(π,2)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3π,2)，,y＝3.))

【答案】(eq\f(3π,2)，3)

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

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疑问2：

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疑问3：

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