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结论2把矩阵A的第i行与第j行对调，即.把矩阵A的第i列与第j列对调，即.以非零常数k乘矩阵A的第i行，即.以非零常数k乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.性质2方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2,…,Pl．证:先证充分性.设存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使得A=P1P2,…,Pl．因为初等矩阵可逆，所以有限多个初等矩阵的乘积仍可逆，故A可逆.再证必要性.设n阶方阵A可逆，且A的标准形矩阵为F.由于A～F，知F可通过有限次的初等变换可化为A，即有初等矩阵P1,P2,…,Pl，使得因为A可逆，P1,P2,…,Pl也都可逆，故标准形F也可逆.假设中rn，则｜F｜=0，与F可逆矛盾.故r=n,即F=E，从而A=P1P2,…,Pl.#性质2方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2,…,Pl．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．.定理1设A,B都是m×n矩阵，则(1)的充要条件是存在可逆矩阵Pm，使得PA=B；(2)的充要条件是存在可逆矩阵Qn，使得AQ=B；(3)的充要条件是存在可逆矩阵Pm，及可逆矩阵Qn使得PAQ=B；推论1方阵A可逆的充要条件是.证：方阵A可逆存在可逆方阵P，使得推论2方阵A可逆的充要条件是.推论3方阵A可逆的充要条件是.问：PA=B，则如何求可逆矩阵P？分析：PA=B有限次初等行变换四、初等变换的应用1)已知矩阵A和B，求可逆矩阵P，使得PA=B.方法：例3解：故方阵A可逆有限次初等行变换2)求可逆矩阵A的逆矩阵.利用初等变换求逆阵的方法：初等列变换初等行变换*解例4*课堂练习2：用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵.初等行变换3)求A-1B.方法：例5解标准形矩阵（NormalizedForm）左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.行最简形矩阵(Row-SimplestForm)行阶梯型矩阵若满足：1.非零行的首个非零元为1;2.这些非零元所在的列的其它元素都为零.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.故行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系1≤r≤min{m,n}.任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换*将下列矩阵化为标准形.例2解*课堂练习1：用初等变换将下列矩阵化为标准形矩阵.§3.1.2矩阵的初等变换(下)上节内容回顾一、初等变换的定义二、矩阵的分类三、三种特殊矩阵一、初等变换的定义对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：有限次初等行变换有限次初等列变换A,B行等价，记作A,B列等价，记作
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