《线性代数》课件——第三章 矩阵的初等变换与线性方程组.pptVIP

定理4：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)．证明：设A是m×n矩阵，B是m×l矩阵，X是n×l矩阵.把X和B按列分块，记作X=(x1,x2,…,xl)，B=(b1,b2,…,bl)则即矩阵方程AX=B有解线性方程组Axi=bi有解R(A)=R(A,bi)§3.3线性方程组的解一、线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式方程组可简化为AX=b．增广矩阵的形式向量组线性组合的形式分析：对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例设，求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组定义1线性方程组如果有解，就称它是相容的（Consistent）；如果无解，就称它是不相容的（inconsistent）．问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何表示解的全体？m、n不一定相等！定理1n元非齐次线性方程组Ax=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．分析：只需证明条件的充分性，即R(A)R(A,b)无解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)n无穷多解．那么无解R(A)R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n；无穷多解R(A)=R(A,b)n．证明：设R(A)=r，为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步：证R(A)R(A,b)无解．若R(A)R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，则dr+1=1．于是第r+1行对应矛盾方程0=1，故原线性方程组无解．R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1前r列后n-r列前n列前r列第二步：证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为从而bij都不出现.前r列n列第二步：证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．则dr+1=0且bij都不出现.即r=n，前r行后m－r行后n-r列n行对应的线性方程组为后m－n行第三步：证R(A)=R(A,b)n无穷多解．若R(A)=R(A,b)n，对应的线性方程组为前r列则dr+1=