新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2第2课时双曲线的标准方程及其性质的应用教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 学习 任务 1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象) 2．会求解有关弦长问题．(数学运算、逻辑推理) 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有哪几种位置关系？ 知识点　直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与x2a2－y2b2＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2 类别 位置关系 交点个数 k＝±ba时(此时m≠ 相交 只有一个交点 k≠±ba且Δ＞ 有两个交点 k≠±ba且Δ＝ 相切 只有一个交点 k≠±ba且Δ＜ 相离 没有公共点 直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？ 提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交． 直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有______条． 3　[根据双曲线方程可知，点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．故过点(2，0)且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条．] 类型1　直线与双曲线的位置关系 【例1】　(1)过点P(7，5)且与双曲线x27－y2 (2)直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？ [解]　(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝7，此时仅有一个交点(7，0)，满足条件． 若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－7)，则y＝kx＋5－7k，代入到双曲线方程，得 x27－kx+5-7k225＝1，所以25x2－7(kx＋5－7k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－7k)－7(5－7k 当k＝577时，方程无解， 当k＝－577时，方程2×57x×10＝875有一解， 当k≠±577时，令Δ＝[14k(5－7k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－7k)2－175]＝0，化简后知方程无解， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝7和y＝－577x (2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1， 整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 当a≠±3时，Δ＝24－4a2. 由Δ>0得－6<a<6且a≠±3，此时有两解，直线与双曲线有两个交点． 若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝2a2 所以a<－3或a>3.故当－6<a<－3或3<a<6时，A，B两点在双曲线的同一支上． 若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x2＝2a2-3<0，所以－3<a<3，故当－3<a<3时，A 　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． [跟进训练] 1．(源自湘教版教材)讨论直线y＝x＋b与双曲线x2－y2＝1的公共点的个数． [解]　由y=x+b， x2-y2=1，消去 整理得2bx＋b2＋1＝0.① 如果b＝0，则方程①变为1＝0，无解．此时直线与双曲线无公共点．事实上，此时直线为y＝x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 现在设b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 类型2　与双曲线有关的轨迹问题 【例2】　某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)(　　) A．北偏西45°方向，距离68010 m B．南偏东45°方向，距离68010 m C．北偏西45°方向，距离6805 m D．南偏东45°方向，距离6805 m A　[如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴，y轴正向，建立直角坐标系．设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020，0)， B(1 020，0)，C(0，1 020)．设P(x，y)为巨响发生点． 由已知|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线上，易得PO所在直线的方程为y＝－x，又B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360，可知P点在以A，B为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×340