期末复习专题训练17—立体几何（截面问题）-新教材人教A版高中数学必修第二册.docx

期末复习专题训练17—立体几何（截面问题） 一、单选题 1.如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面面积为　　 A． B． C． D． 【解答】、、分别为、、的中点， ，， 面，面， 面， 同理可证面， 又面，面，， 面面， 即点在直线上，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面为， 在中，有，，， ， 故选：． 2．用平面截棱长为1的正方体，所得的截面的周长记为，则当平面经过正方体的某条体对角线时，的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：假设截面过体对角线，（过其他体对角线结论一样） 如图所示， 因为一平面与两平行平面相交，交线平行， ，，且，， 故四边形为平行四边形， ， 设，则， ， ，为正数时，，当且仅当时等号成立， 当即时，取最小值为：， 故选：． 3．棱长为1的正方体中，点在线段上，（点异于、两点），线段的中点为，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段长度的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：如图，设平面与直线交于点， 因为是正方体，所以平面平面， 而平面平面，平面平面， 所以，则，所以， 所以， 要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需要点在线段上， 当点在点处时，恰好在线段的中点处， 因为点在线段上，所以，所以， 则，即，所以，即的范围为，， 故选：． 4．在下面四个正方体中，点，，均为所在棱的中点，过，，作正方体截面，则下列图形中，平面不与直线垂直的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，如图，连接， 由点，，均为所在棱的中点， 可得，显然直线不垂直， 所以直线不垂直，故平面不与直线垂直，故符合题意； 对于，如图，连接，， 由平面，所以在平面的投影为， 因为，由三垂线定理可得， 又点，，均为所在棱的中点，所以， 所以， 同理可得，又， 所以平面，故不符合题意； 同理可得不符合题意； 对于，如图，连接，，，， 因为点，，均为所在棱的中点， 所以，且， 所以四边形为平形四边行， 所以，因为平面， 所以在平面的投影为， 又，由三垂线定理可得， 所以， 因为平面，所以在平面的投影为， 又，由三垂线定理可得， 又，所以， 又， 所以平面，故不符合题意． 故选：． 5．已知正方体的边长为3，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：直线是正方体的体对角线， 所以平面， 因为过点的平面与直线垂直， 所以平面平面， 因为为边上靠近的三等分点， 所以平面截正方体所得截面的面积， 因为正方体的边长为3， 所以， 所以过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为． 故选：． 6．在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，为中点，平面过点且与平面垂直，，则被此直四棱柱截得的截面面积为　　 A．1 B．2 C．4 D．6 【解答】解：分别取，，的中点，，，连接，，，，． 由四边形为菱形，知， 再根据三角形的中位线定理，知，所以， 又因为，因此． 又，平面，平面， 故平面， 又平面，则平面平面． 则为矩形． 由，，故截面面积为4． 故选：． 7．在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，设过，，的截面与面，以及面，的交线分别为，，则，所成的角为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，作交于，连接并延长与的延长线交于，连接交于，连接， 为截面的部分图形， 同理延长交的延长线于，连接交于，连接，， 则，所成的角即为，所成的角，设为， 易知，，，所以． 故选：． 8．正四面体的棱长为3，点是平面内一动点，，设异面直线与所成的角为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，作平面于， 是正四面体，是的中心， 则，， 则， ， 平面内，在以为圆心，为半径的圆上， 运动时，是圆锥的母线， 如图，把圆锥平移到四面体外部， 不妨设，是圆锥底面圆的一条直径， 母线与所成角的最小值是圆锥轴截面底角， ， 即异面直线与所成的角的最小值为， 故选：． 二、多选题 9．如图，有一正四面体形状的木块，其棱长为，点是的中心．劳动课上，需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是　　 A．截面与侧面的交线平行于侧面 B．截面是一个三角形 C．截面是一个四边形 D．截面的面积为 【解答】解：因为正四面体的四个面都是等边三角形，点是的中心， 所以位于中线的处， 分别取、、、的三等分点，（靠近点），，（靠近点）， 则，，且截面经过点，满足题意， 因为，，所以四边形是平行四边形， 平面平面，，平面，平面， 所以平面，所以选项正确； 截面是一个四边形，故选项错误，选项正确； 四边形不是边长的菱形，所以面积不是，故选项错误． 故选：． 1