期末复习专题训练21—立体几何（求表面积、体积2）-新教材人教A版高中数学必修第二册.docx

期末复习专题训练21—立体几何（求表面积、体积2） 1．如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置平面． （1）若为直线上任意一点，证明：平面； （2）若直线与所成角为，求三棱锥的表面积． 解：（1）证明：连接． ，，分别是，，的中点，， 平面，平面， 平面， 同理平面， 平面，平面，， 平面平面， 平面，平面． （2）解：在等腰梯形中，作于，于， 由题意得，，， ， 与互补，， 在中，， ，， ，为锐角， 为直线与所成角， ，为等腰直角三角形， 三棱锥的表面积为： ． 2．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，平面，，且． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）若，求多面体的表面积 解：（1）证明：如图，取的中点，连接，， ，分别是，的中点， ，且， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，． 平面，平面，， 又是菱形，，， 平面，平面， 又平面，平面平面． （2）解：如图，取的中点为，连接，， 在直角中，， 设多面体的表面积为， 则 ． 3．如图所示的几何体中，菱形的对角线与交于点，四边形为平行四边形，平面，为线段上一点． （1）证明：； （2）若，，设三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求四棱锥的侧面积． 解：（1）证明：菱形的对角线与交于点， ， 平面， ， ， 平面， 四边形为平行四边形， ， 平面， 平面， ； （2）设点到平面的距离为，则，， ， ，故为线段的中点， 取中点，连接，则， 平面， 平面， ， 作，交于，连接， ， 平面， ， 而中，， 中，， ， 同理可得，而的面积等于的面积，即， 四棱锥的侧面积为． 4．如图，在三棱柱中，是正三角形，平面，，是边上的一点，且为的平分线． （1）证明：平面； （2）若在三棱柱中去掉三棱锥后得到的几何体的表面积为，求值． （1）证明：如图，连接交于点，连接，易知是的中点， 因为是正三角形，且为的平分线，所以是的中点， 所以是△的中位线，． 因为平面，平面，所以平面． （2）解：设剩余的几何体的表面积为， 则，． 易证平面平面， 因为，所以平面，所以， 可得的面积为， 所以． 因为，所以． 5．如图，平面，，，，，． （1）证明：平面． （2）若几何体的体积为10，求三棱锥的侧面积． 解：（1）证明：，，，， ，， ，，，． ，． ，平面， 平面，， 平面，平面， 平面． （2）解：的面积，几何体的体积为10， 几何体的体积为： ， 解得， 平面，，又，， 平面，， 三棱锥的侧面积为： ． 6．如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，平面平面． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，，求几何体的体积． 证明：取的中点，连接，． 四边形是正方形，， 又平面平面，平面平面． 平面，平面， ． 中，，，， 又，平面． 四边形是梯形，，且． ，四边形是平行四边形， ，又， ， 四边形是平行四边形． ， 平面． 又平面， 平面平面． （Ⅱ）解：由可得：三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，底面． 直三棱柱的体积， 四棱锥的体积． 几何体的体积．