期末复习专题训练19—立体几何（证明平行、垂直2）-新教材人教A版高中数学必修第二册.docx

期末复习专题训练19—立体几何（证明平行、垂直2） 1．如图，在正三棱柱中，点是的中点． （1）求证：平面； （2）设为棱的中点，且满足，求证：平面平面． 证明：（1）连结，交于，连结， 在正三棱柱中，面是平行四边形， 是的中点， 由点是的中点，， 平面，平面， 平面． （2）在平面中，点是的中点，为棱的中点，且满足， △，，① 正三棱柱，底面是正三角形，点是的中点， ， 侧面平面，面平面， 平面， 平面，，② ，平面， 平面，平面平面． 2．在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：直线平面． 证明：（1）如图，连接， 在直三棱柱中，且， 因点，分别是棱，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形，即且， 又且， 所以且，即四边形是平行四边形， 所以， 又平面， 所以平面． （2）因，所以四边形是菱形， 所以，又点，分别是棱，的中点，即， 所以． 因为，点是棱的中点， 所以， 由直三棱柱，知底面，即， 所以平面，则， 所以直线平面． 3．已知在四棱柱中，底面是菱形，且平面平面，，点，分别为线段，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 证明：（1）连结，四棱柱中，，是平行四边形， ，，且，， 又点，分别为线段，的中点， ，， 所以四边形是平行四边形， ，又平面，平面， 平面 （2）四棱柱中，四边形是平行四边形， ，在△中，，点为线段的中点， ，又，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， 底面是菱形，， 又，，平面， 平面． 4．如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点，分别为，的中点．求证： （1）； （2）平面． 证明：（1）因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）取的中点，连结，． 在△中，，分别是，的中点， 所以，且． 在矩形中，是的中点， 所以，且． 所以，且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，面面，三角形为正三角形． （1）若，为，中点，证明：面； （2）若，证明：面面． 证明：（1）取的中点，连接，． 在中，因为，分别为，中点， 所以且． 因为底面为平行四边形，所以， 为的中点，所以． 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接． 因为侧面为正三角形，所以． 因为平面平面，平面， 平面平面，所以平面． 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． 6．将正方体沿三角形所在平面削去一角可得到如图所示的几何体． （1）连结，，证明：平面平面； （2）已知，，分别是正方形、、的中心（即对角线交点），证明：平面平面． 证明：（1）连接，正方体， ， ，，，共面， 正方体， 平面， 在平面内， ， 正方体， 四边形为正方形， ， 正方体， 平面， 在平面内， ， 且都在平面捏，平面， 在平面内，， ，且都在平面内，平面， 在平面内，平面平面； （2）连接，，， ，，分别是正方形，，的中心， ，，分别是，，的中点，， 在平面内，不在平面内，平面， 同理可得平面， 又且都在平面内， 平面平面．