期末复习专题训练18—立体几何（证明平行、垂直1）-新教材人教A版高中数学必修第二册.docx

期末复习专题训练18—立体几何（证明平行、垂直1） 1．在正方体，对角线交于，对角线交平面于．在正方形内，以为直径的半圆弧上任意取一点．求证： （1）平面； （2）平面平面． （1）证明：设交平面于点，连接， 因为，平面，平面， 可得平面， 同理由，可得平面， 又， 所以平面平面， 因为是平面与平面的交线， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为在以为直径的半圆弧上，所以，即， 因为平面，平面， 所以，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 2．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱的中点，，． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：平面． 证明：（1）， ，，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面，． （2）取中点，连结，， 是的中点，是的中点， 在中，， 在三棱柱中，，， 又，四边形为平行四边形， ， ，，平面平面， 平面，平面． 3．已知四棱锥，平面，底面为等腰梯形，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 解：（1）证明：找到的中点，连接，， 中，是中点．且， 又等腰梯形中，，， ，且， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． （2）证明：连接与的中点， 根据题意，等腰梯形中，，， 四边形是平行四边形， ． 设，则，， ， ， ，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面， 平面， ． 4．如图，在四棱锥中，底面四边形满足，，，且为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，且，求证：平面平面． 证明：（1）取的中点，连结，， 是的中点，是的中位线， ，， ，，， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． （2）平面平面，且平面平面， ，平面， 平面， 平面，， ，为的中点，， 平面，平面，且， 平面， 平面，平面平面． 5．在直三棱柱中，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，证明：平面． 证明：（1）连接，如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ， 又，． 又平面，平面， 平面； （2）在直三棱柱中，平面， 平面，， 同理，， ，，． 又，，，得． ，平面， 又平面，， 同理， ，，，． 又，， 四边形为正方形， 为的中点，， 又，平面． 6．在三棱柱中，侧面为菱形，且，点，分别为，的中点．求证： （1）平面平面； （2）平面． 证明：（1）连结交于点，连结． 在中，因为，所以． 因为侧面为菱形，所以对角线． 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）连结，因为侧面为菱形， 所以对角线互相平分，点为的中点． 因为点为的中点，所以在△中，，， 在三棱柱中，侧棱，又点为的中点， 所以． 又，所以，四边形是平行四边形， 所以． 因为平面，平面，所以平面． 7．如图，在四棱锥中，平面，，，，点是与的交点，点在线段上，且． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 解：（1）证明：在四边形中，由，， 可得，可得，为的中垂线， 即有，且为的中点， 由，， 可得，， 则， 由，可得， 而平面，平面， 可得平面； （2）过作，垂足为，延长交于，连接，， 由平面，平面， 可得， 又，可得平面，平面，可得平面平面， 故存在这样的点． 在直角中，， 可得在中，，， 由，， 可得，即为的中点， 则为的中点时，平面平面． 8．如图，已知和都垂直于平面，，是的中点． （1）若为中点，求证：平面； （2）求证：平面． 证明：（1）取中点，连结， 为中点，，且， 和都垂直于平面，， 又，，且． 四边形为平行四边形，得， 又平面，平面， 平面； （2）取中点，连结，， 是的中点，，且． 和都垂直于平面，． 又，，且， 四边形是平行四边形，得． ，为中点，，则． 垂直于平面，平面， ，则． 又，，平面，平面． 平面，． ，是的中点，． ，，平面， 平面．