2023年江苏省南京市第十三中学特长生考试数学试题 .docxVIP

2023年十三中特长生数学试题 1．，为正整数，求的最小值． 2．已知两个函数图像的表达式分別为：，，，与相交于，求__________． 3．已知三角形是等边三角形，点，点，点在第一象限，求点坐标__________． 4．如图，三角形中，为中点，，，以为直径作圆，恰好与相切于点．求： （1）圆的半径； （2）连接，交于，求的长度； 5．解为3个时，求__________． 6．已知三角形，，垂直平分，，，求（ ） A． B． C． D． 7．已知，轴，轴，中点为，反比例函数过点、，反比例函数过点，求（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知，；． （1）上有点，，求点坐标； （2）上有点，求最小值； （3）上有点，点，求最小值； 2023年十三中特长生数学试题参考答案 1．【点评】本题考察初一的分数裂项，比较简单． 【解析】原式，所以的最小值为． 2．【点评】本题考察一次函数交点问题，属于课内中等偏上难度题目，计算稍微有些复杂． 【解析】 方法1、，；，，． 方法2、，两直线垂直，两直线分别过和，直角三角形斜边中线等于斜边一半，交点到原点距离为3，则． 3．【点评】考察两点间的距离公式，属于课内中等偏上难度题目；注意计算化简的技巧以及第一象限答案的取舍． 【解析】设，则，则，； 两式相减得，代入第一个式子得，由于在第一象限，、都大于0； 求得． 4．【点评】考察圆中相切与计算，属于课内中等难度题目； 【解析】（1）连接，则，设半径为，则中，勾股定理得，求得； （2）因为，所以，所以，垂直平分，所以， 所以，所以，可得为中点，因为， 所以，所以，所以． 5．【点评】考察一元二次方程解的情况，或者用绝对值函数画图像的方法更快解决，本题属于课内中等偏上难度题目． 【解析】法一；由题意知大于0；则或，有一个方程有2个相等的根，另一个方程有2个不相等的根；若第1个方程有2个相等的根，则，求得（舍去）；第2个方程有2个相等的根，则，求得；代入第1个方程，有2个不相等的根，成立，所以． 法二：与图像有三个交点，此时． 6．【点评】考察相似中的计算，或者在直角三角形中，用三角函数计算更简单，本题属于课内中等偏上难度题目； 【解析】设，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，解得，，选C． 7．【点评】考察反比例函数与几何的综合，设点坐标，用代数方法解决比较简单，本题属于课内中等难度题目； 【解析】设，则，；D为中点，所以，D在图像上，带入得，解得，选B． 8．【点评】此题考察函数中的新定义问题，和2019年南京中考最后一题类似，第2问需要用到基本不等式，第3问属于分段函数，在不同的范围最小值不一样，本题属于难度较大的题目； 【解析】（1）设，则， 利用零点分段法去绝对值：当时，，，则； 当时，，舍去；当时，，； （2）设，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，最小值为3． （3）设，， 因为，所以化简为， 当时，， 当时，， 所以是一个分段函数， 当时，图像如图1中红色和蓝色组合部分，在上取到最小值，此时最小值为； 当时，图像如图2中红色和蓝色组合部分，在上取到最小值，此时最小值为； 当时，图像如图3中红色和蓝色组合部分，整个图像不包括这2个函数的顶点，当时取最小值，为． 图1 图2