简单曲线的极坐标方程 学案.docx

三 简单曲线的极坐标方程 [学习目标] 了解极坐标方程的意义. 掌握直线和圆的极坐标方程. 能够根据极坐标方程研究有关数学问题. [知识链接] 曲线的极坐标方程是否唯一？ 提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一. 上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是 ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？ 提示 由 ρ＝2cos θ得 ρ2＝2ρcos θ，即 x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2 ＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为 1 的圆. [预习导引] 1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线 C 可以用方程 f(x，y)＝0 表示，曲线与方程满足如下关系： 曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解； (2)以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 2.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做曲线 C 的极坐标方程. 曲线图形极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) ρ＝2 ρ＝2rcos θ 圆心为(r，0)，半径为 r 的圆 ? ?－ 2 ≤ π ? θ ≤ 2 ? π? ? 圆心为?r， 2 ?，半径为 r 的圆 ? π? ? ? ρ＝2rsin θ (0≤θ<π) 过极点，倾斜角为 α 的直线 θ＝α 或 θ＝α＋π ρcos θ＝a 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ? ?－ 2 < ? π θ π? < 2 ? ? 过点?a， 2 ?，与极轴平行的直线 ? π? ? ? ρsin θ＝a (0<θ<π) ?  3π? ??例 1 求圆心在 C ?2， ? ? 2 ? 处并且过极点的圆的极坐标方程， 并判断点 ? 5π? 解 如图，由题意知，圆经过极点 O，OA 为其一条直径，设M(ρ，θ) 解 如图，由题意知，圆经过极点 O，OA 为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点 O，A 以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接 AM，则 OM⊥MA.在 Rt△OAM 中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即 ρ ? ? ?3π ? ρ θ ?4 3π? ＝2rcos? 2 －θ?，∴ ＝－4sin ，经验证，点 O(0，0)，A? ， 2 ?的坐标满 ? ? ? ? 足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为 ρ＝－4sin θ. 5π 1 5π ∵sin ρ 4sin θ＝－4sin 2， 6 ＝2，∴ ＝－ ? 5π? 6 ＝－ ??∴点?－2，sin 6 ?在此圆上. ? ? 规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点 M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表 示. 跟踪演练 1 曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＋2x＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 . 解析 直角坐标方程 x2＋y2－2x＝0 可化为 x2＋y2＝2x，将 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ 代入整理得 ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ 例 2 例 2 如图，在极坐标系中，直线 l 过 M? ?3，π?且该直线与极 ? 2 ? ? π 轴的正方向成 4 ，求此直线 l 的极坐标方程. 解 法一 设直线上任意一点为 P(ρ，θ)，在△OMP 中∠OMP π π 3 π ρ 3 ＝ 2 ＋ 4 ＝4π，∠MPO＝θ－ 4 .根据正弦定理得 3 ＝ ， sinπ sin sin 4 ? π? ?θ－ 4 ? ? ? ? π? 3 2 即 ρsin?θ－ 4 ?＝ 2 . ? ? 4法二 设直线上任意一点为 P(ρ，θ)，点M 的直角坐标为(0，3)，直线 MP 的倾斜角为π，∴直线 l 为 y＝x＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为 ρsin θ＝ρcos 4 θ ρ ?θ π? 3 2 ＋3，∴ sin? － 4 ?＝ 2 . ? ? 规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点 M 所满足的等式，从而集中条件建立了以 ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间