oepliz算子和小hankel算子的刻画.docx

oepliz算子和小hankel算子的刻画 1 toeplitch算子 请注意，d是复平面c上的一个开放单位圆，da（z）=1dxy，d是标准化的lebesgue，其表示为sobolev空间的lp，1（1p）是相关的。 Sobolev空间L∞,1定义为 其范数可表示为 Dirichlet空间Dp是Lp,1中解析函数构成的闭子空间.令P表示从Lp,1到Dp的投影.P为积分算子,它可表示为 其中Kw(z)=K(z,w)是Dp的再生核.直接计算得 若φ∈Lp,1,Dp上以φ为符号的Toeplitz算子Tφ稠密定义为 小Hankel算子Γφ稠密定义为 其中U是Lp,1(D)上的酉算子 (U f)(z)=f(z); Hankel算子Hφ稠密定义为 其中f为多项式,参见文献. 为了方便,下文用Tub表示Bergman空间Lap上以u为符号的Toeplitz算子. 若T∈B(D)(由Dirichlet空间D上的全体有界线性算子构成的Banach代数,下文均用D表示D2),T的Berezin型变换是D上的复值函数 本文讨论Dirichlet空间D上的Toeplitz算子和小Hankel算子.利用Berezin型变换讨论了Toeplitz算子的不变子空间问题,具有Berezin型符号的Toeplitz算子的渐进可乘性以及Toeplitz算子的Riccati方程的可解性.应用Berezin变换得到了Toeplitz算子和小Hankel算子可逆的充分条件此外,还利用Hankel算子和Berezin变换刻画了算子2Tuv-TuTv-TvTu的紧性,其中函数u,v∈L2,1 2 toeplitch算子 Hardy空间和Bergman空间上Toeplitz算子的不变子空间的存在性仍然是一个公开问题,参见[2–4].Peller部分地解决了此问题.G¨urdal和S¨ohret给出了该问题的一些必要条件. 本节将给出Toeplitz算子和小Hankel算子存在不变子空间的必要条件. 若T∈B(H),其中H是Hilbert空间,PM是H的闭子空间M上的投影,则M∈Lat(T)(M是T的不变子空间:T M?M)当且仅当T PM=PMTPM,详见文献. 定理1设u是L2+?,1中的调和函数,其中?是任意正数,Tu是D上符号为u的Toeplitz算子.若F是D的闭子空间,令Kw1,F=PFKw1(z),其中.若TuF?F,则当w沿非切线方向几乎处处趋于T=?D时, 其中是Tub的Berezin变换. 证明若F∈Lat(Tu),即F是算子Tu的不变子空间.令PF是D到F上的投影,则 于是对任意w∈D,有 即 因此, 注意到∥kw1(z)∥L2,1=1且w→T时,kw1(z)在D中弱收敛到0,则w→T时可得 由于 因为映射L2+?,1→L∞是连续的且由中定理5知,当w→T时I→0,于是当w→T时, 故结论成立. 实际上,定理1中u是调和的条件不是必需的. 由Sobolev定理,若u∈L2,1,则u|T∈L2(T).于是对k∈Z,定义 下面的定理粗略说明D上的Toeplitz算子仅依赖于符号的边界值. 定理2令φ∈L2,1,则对任意n∈Z+, 证明参见中的命题2. 定理3设u在L2+?,1中,其中?为任意正数,在Dirichlet空间D上Toeplitz算子Tu=TU,其中U是u|T的调和扩张. 证明用定理2即可得证. 因此我们可以去掉定理1中调和的条件. 定理4设u是L2+?,1中的函数,其中?是任意正数,Tu是D上符号为u的Toeplitz算子.若F是D的闭子空间,令Kw1,F=PFKw1(z),其中.若TuF?F,则当w沿非切线方向几乎处处趋于T=?D时, 其中是Tub的Berezin变换. 3 线性算子的建立 本节将证明:若φ∈L2+?,1,Tφ是Dirichlet空间D上的Toeplitz算子,S是D上的任意有界线性算子,则 定理5设φ是L2+?,1中的调和函数,其中?为任意正数,S:D→D是有界线性算子,则函数 在T上的非切向极限几乎处处为0. 证明注意到 且 由中定理5,当|z|→1时,有 定理6设φ是L2+?,1中的函数,其中?为任意正数,S:D(D)→D(D)是有界线性算子,则函数 在T上的非切线极限几乎处处为0. 证明用定理2即可得证. 4 算子的ricctori方程的可解性 Toeplitz代数T是由{Tg:g∈H∞,1}生成的B(D)的C*-子代数,其中H∞,1是由L∞,1中解析函数构成的子空间.本节主要讨论代数T上Riccati方程的可解性.Riccati方程形式如下: 其中A,B,C和D是Dirichlet空间D上的有界线性算子. Toeplitz算子的Riccati方程的可解性是算子理论的重要问题之一.如,若PH表示从Hilbert空间H