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特殊的平行四边形中的最值模型-费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来,主要考查转化与化归等的数学思想,在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.费马点:三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论:如图,点M为△ABC内任意一点,连接AM、BM、CM,当M与三个顶点连线的夹角为120°时,MA+MB+MC的值最小。
注意:上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120o,若最大的角大于或等于120o,此时费马点就是最大角的顶点A。(这种情况一般不考,通常三角形的最大顶角都小于120°)
图3
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
∵△ABE为等边三角形,∴AB=BE,∠ABE=60°.而∠MBN=60°,∴∠ABM=∠EBN.
在△AMB与△ENB中,∵,∴△AMB≌△ENB(SAS).
连接MN.由△AMB≌△ENB知,AM=EN.∵∠MBN=60°,BM=BN,∴△BMN为等边三角形.
∴BM=MN.∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.∴当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小.
此时,∠BMC=180°﹣∠NMB=120°;∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°;
∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°.
费马点的作法:如图3,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间,线段最短。
例1.(2023·广东深圳·二模)如图,是等边三角形,M是正方形ABCD对角线BD(不含B点)上任意一点,,(点N在AB的左侧),当AM+BM+CM的最小值为时,正方形的边长为______.
例2.(2023春·江苏·八年级专题练习)如图,四边形 是菱形,B=6,且∠ABC=60° ,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM 的最小值为________.
例3.(2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图,点M是矩形内一点,且,,N为边上一点,连接、、,则的最小值为______.
例4.(2023·成都实外九年级阶段练习)已知:到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果是锐角(或直角)三角形,则其费马点P是三角形内一点,且满足.(例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点).如图,在边长为6的正方形ABCD中,点M,N分别为AB、BC上的动点,且始终保持BM=CN.连接MN,以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ,若在正方形内还存在一点P,则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为 .
例5.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图,在中,,,,P是平面内一点,则的最小值为______.
??
变式1.(2023春·浙江·八年级专题练习)如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
变式2.(2023·陕西西安·八年级校考阶段练习)两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示,若∠α=30°,则对角线BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值是 .
变式3.(2023·广东广州·校考二模)平行四边形中,点E在边上,连,点F在线段上,连,连.
(1)如图1,已知,点E为中点,.若,求的长度;
(2)如图2,已知,将射线沿翻折交于H,过点C作交于点G.若,求证:;
(3)如图3,已知,若,直接写出的最小值.
变式4.(2023春·浙江·八年级专题练习)在正方形ABCD中,点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB=;(1)如图1,将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF,连接EF;①把图形补充完整(无需写画法);??②求的取值范围;(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.
变式5.(2023·重庆·九年级专题练习)【问题提出】
(1)如图1,四边形是正方形,是等边三角形,M为对角线(不含B点)上任意一点,将绕点B逆时针旋转得到,连接、,.若连接,则的形状是________.
(2)如图2,在中,,,求的最小值.
【问题解决】(3)如图3,某高新技术开发区有一个平行四边形的公
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